codeforces 2B B. The least round way(dp+数论)

题目链接：

codeforces 2B

题目大意：

给出一个n*n的矩阵，从左上角走到右下角，只能向右或向下走，问路径上的数之积末尾0最少的方案是什么。

题目分析：

首先我们要做两个预处理，处理出每个位置上的数包含多少个2的质因子和多少个5这个质因子

然后我们统计路径上弄到最少的2的方案数和最少的5的方案数。

这个转移方程很简单：定义dp[i][j]为走到点[i,j]时最少弄到给定质因数的个数，a[i][j]表示[i,j]位置上给定质因数的个数。

dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+a[i][j]dp[i][j] = min ( dp[i-1][j] , dp[i][j-1] ) + a[i][j]

然后我们需要证明ans=min(k,m),k代表弄到的最少的2的个数，m表示弄到的最少的5的个数。

首先因为我们一定可以选择一条路径，保证这条路径上其中一个质因数的个数不超过ans,所以ans是答案的上限。

然后因为我们如果能够找到两个质因数的最小值小于ans的情况时，存在一条路经能够导致kk

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAX 1007

using namespace std;

int n,x;
int dp[2][MAX][MAX];
int p[2][MAX][MAX];

void print ( int x , int y , int k , int f  )
{
    if ( x == 1 && y == 1 );
    else if ( x == 1 ) print ( x , y-1 , k , 0);
    else if ( y == 1 ) print ( x-1 , y , k , 1);
    else 
    {
        if ( dp[k][x][y] == dp[k][x-1][y] + p[k][x][y] )
            print ( x-1 , y , k , 1 );
        else print ( x , y-1 , k , 0);
    }
    if ( f == 3 ) return;
    printf ( "%c" , f?'D':'R' );
}

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        int flag = 0,a,b;
        for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
            for ( int j = 1 ; j <= n ; j++ )
            {
                scanf ( "%d" , &x );
                if ( !x ) 
                {
                    flag = 1;
                    p[0][i][j]++;
                    p[1][i][j]++;
                    a = i , b = j;
                    continue;
                }
                while ( x%2 == 0 )
                {
                    p[0][i][j]++;
                    x /= 2;
                }
                while ( x%5 == 0 )
                {
                    p[1][i][j]++;
                    x /= 5;
                }
            }
        memset ( dp , 0x3f , sizeof ( dp ) );
        for ( int k = 0 ; k < 2 ; k++ )
            for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
                for ( int j = 1 ; j <= n ; j++ )
                {
                    if ( i-1 )
                        dp[k][i][j] = min ( dp[k][i][j] , dp[k][i-1][j] );
                    if ( j-1 )
                        dp[k][i][j] = min ( dp[k][i][j] , dp[k][i][j-1] );
                    if ( i == j && i == 1 ) 
                        dp[k][i][j] = 0;
                    dp[k][i][j] +=  p[k][i][j];
                }
        int ans = min ( dp[0]

 , dp[1]

 ); 
        if ( ans > 1 && flag )
        {
            puts ( "1" );
            for ( int i = 1 ; i < a ; i++ )
                printf ( "%c" , 'D' );
            for ( int j = 1 ; j < b ; j++ )
                printf ( "%c" , 'R' );
            for ( int i = a ; i < n ; i++ )
                printf ( "%c" , 'D' );
            for ( int j = b ; j < n ; j++ )
                printf ( "%c" , 'R' );
            puts ( "" );
            continue;
        }
        printf ( "%d\n" , ans );
        if ( dp[0]

 < dp[1]

 )
            print ( n , n , 0 , 3 );
        else print ( n , n , 1 , 3 );
        puts ( "" );
    }
}