hdu 3037 Saving Beans（lucas定理）（卢卡斯定理）

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

解题思路：

题目可以转换成 x1+x2+……+xn=m 有多少组解，m在题中可以取0~m。

利用插板法可以得出x1+x2+……+xn=m解的个数为C（n+m-1，m）；

则题目解的个数可以转换成求 sum=C（n+m-1，0）+C（n+m-1，1）+C（n+m-1，2）……+C（n+m-1，m）

利用公式C（n，r）=C（n-1，r）+C（n-1，r-1） == > sum=C（n+m，m）。

现在就是要求C（n+m，m）%p。

因为n，m很大，这里可以直接套用Lucas定理的模板即可。

对于C(n, m) mod p。因为n，m，p（p为素数）都很大，所以就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。

Lusac定理：

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence
relation holds:



where



and



are the base p expansions of m and n respectively.

所以：

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

对于单独的C(ni, mi) mod p，已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然除法取模，这里要用到m!(n-m)!的逆元。

根据费马小定理：

已知(a, p) = 1，则 ap-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a*ap-2 ≡ 1 (mod p)。也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)p-2
；
AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll quick_mod(ll a,ll b,ll m){
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b){
        if(b&1)
            ans = ans * a % m;
        b >>= 1;
        a = a * a % m;
    }
    return ans;
}

ll getC(ll n, ll m,ll mod){
    if(m > n)
        return 0;
    if(m > n-m)
        m = n-m;
    ll a = 1,b = 1;
    while(m){
        a = (a*n)%mod;
        b = (b*m)%mod;
        m--;
        n--;
    }
    return a*quick_mod(b,mod-2,mod)%mod;
}

ll Lucas(ll n,ll k,ll mod){
    if(k == 0)
        return 1;
    return getC(n%mod,k%mod,mod)*Lucas(n/mod,k/mod,mod)%mod;
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll n,m,mod;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
        printf("%lld\n",Lucas(n+m,m,mod));
    }
    return 0;
}