【转载+翻译】Pascal 三角形中的奇数

原文：

https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.4-5.shtml

翻译：

如果问，Pascal 三角形的第N行中有多少个奇数？

N = 0，1，2，3 …

数一数，得到下面的结果

row N: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

odd : 1 2 2 4 2 4 4 8 2 4 04 08 04 08 08 16 02 04 04 08 04

看起来，好像总是 2 的幂？ 事实上，这是正确的。

定理：

Pascal 三角形中奇数项的个数为， 以 2 为底，N 的二进制表示中 1 的个数次幂。

例如：

83 = 64 + 16 + 2 + 1 二进制表示为 (1010011)，则 83 行有 24=162^4=16 个奇数。

背后的数学原理：

我们的证明用到了 二次项定理 和 模算数。

根据二次项定理

(1+x)N=∑nk=0(nk)xk(1+x)^N = \sum{_{k=0}^n} \binom{n}{k}x^k.

如果将系数模2，则容易得到一个结论，当 N>=0N >= 0 时

(1+x)2N=(1+x2N)(mod2)(1+x)^{2^N} = (1+x^{2^N}) (mod 2)

所以

(1+x)10=(1+x)8(1+x)2=(1+x8)(1+x2)=1+x2+x8+x10(mod 2)(1+x)^{10} = (1+x)^8 (1+x)^2 = (1+x^8)(1+x^2) = 1 + x^2 + x^8 + x^{10} (mod \ 2)

可以看出，当 k = 0, 2, 8, 10 时，(nk)\binom{n}{k} 为奇数。

从 (1+x)^8 (1+x)^2 ，可以看出与 10(1010) 的关系。