SG定理

初始问题

给定N堆石子，每堆有Ai个石子。两个人轮流操作，每轮可以选一堆石子来取石子，可以取完，但不能不取。无法操作者输。问先手是否必胜。

SG定理

相信很多人都已经知道了这个定理。

假设现在有一个有向无环的游戏图G(V,E),若(i,j)∈E则表示状态i可以转移到状态j.

我们还要定义必胜态与必败态的概念。

必胜态表示，从当前状态可以转移到一个必败态。

必败态表示，从当前状态无法转移到一个必败态。

我们规定整个图不存在平局态。

设SGX

SGX=MEX({SGY,Y|(X,Y)∈E})

MEX是一个作用于集合的函数。MEX(S)的值为最小的自然数b,满足b∉S.

最终若SGX为0，则X为一个必败态。否则X为必胜态。

证明

我们归纳的来证明这个定理。

假设对于之前的状态这是成立的。

现在新增了一个状态X.

若SGX>0,则必然存在一个Y:(X,Y)∈E 满足SGY=0.因为SGY=0,所以Y为一个必败态。因此X为一个必胜态。

若SGX=0,则∀y:(X,Y)∈E,SGY>0.也就是说他只能转移到必胜态。因此X为一个必败态。

最终由于没有出边的状态Q为必败态，SGQ=0.所以归纳成立。

回归原问题

好像有了上面的定理我们就能做了？？？其实是不能的。

因为原问题中我们的一个状态X=(A1,A2,⋯,AN).状态数实在是太多了。根本不可能存的下来。

但是假如只有一堆石子的话，

SG(A1)=MEX({SG(j),j<A1})

最终化简得SG(A1)=A1.

然而并没有什么卵用

原问题是多个堆。但是两两之间没有什么影响啊？？能不能缩？

Another theorem

设一个游戏间的运算+,X+Y表示将X与Y复合。即这两个游戏相互不影响，但在同一个游戏X+Y中。

设游戏X=X1+X2+⋯+XN

记⊕表示xor.

则SGX=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXN.

Why?

Proof

首先考虑游戏X具有的转移。

设X=X1+X2+⋯+XN.

因为一次只能选择一个单独的游戏进行,所以X具有的转移其实是

X1+X2+⋯+X′i+⋯+XN,1≤i≤N.

其中X′i为Xi的一个转移。

设FX为X的转移集合。

设b=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXN.

那么为了证明SGX=b,我们事实上只需要证明两条性质。

∀a∈N,a<b,∃x′∈FxSGX′=a.

∀x′∈FxSGX′≠b

证明第一条性质

我们同样需要采用归纳法来证明。

∀a∈N,a<b,∃x′∈FxSGX′=a.

记d=b ⊕ a,d的最高位为k.则必存在SGXi的第k位为1.

因为SGXi ⊕ d<SGXi,所以必然存在X′∈FXi,SGX′=SGXi ⊕ d.

因为d=b ⊕ a⇒a=b ⊕ d.即

a=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXi⊕d⊕⋯SGXN

又因为存在X′∈FXi,SGX′=SGXi⊕d,

a=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGX′⊕⋯SGXN

因为X′∈FXi,所以X1+X2+⋯+X′+⋯+XN∈FX.

所以

∀a∈N,a<b,∃x′∈FxSGX′=a.

证明第二条性质

我们现在用反证法。

假设∃x′∈FxSGX′=b

那么SGX′=SGX1⊕SGX2⊕⋯SGXN

设X′=X1+X2+⋯+X′i+⋯+XN

X=X1+X2+⋯+Xi+⋯+XN

那么SGX′=SGX1⊕SGX2⊕⋯⊕SGX′i⊕⋯⊕SGXN

那么就有SGXi=SGX′i

因为SGXi=MEX(SGX′i)

SGXi≠SGX′i

矛盾

所以不存在SGX′=b

得证。