求随机数构成的数组中找到长度大于或等于3的最长的等差数列

http://www.cnblogs.com/eric-blog/archive/2012/05/04/2483402.html

输出等差数列由小到大？如果没有符合条件的就输出“NO”。

例如： 输入[1,3,0,5,-1,6] ,输出[-1,1,3,5] 。

要求：时间复杂度，空间复杂度尽量小

解体思路：设随机数为a[]，首先排序，

（1）枚举两个数，作为数列中相邻的两个元素Ai,Ai+1，那么可求出等差d=Ai+1-Ai。于是Ai-1=Ai-d，Ai+2=Ai+1+d，因此可以在剩下的数寻找Ai-1,Ai+2是否存在，可以用一个set来维护查找，而数列最长可为n，查找次数最大为n，而查找复杂度为logn，总时间复杂度为O(n^3logn）。复杂度太高，不可取。

（2）动态规划求解。设f[i][j]为以a[i],a[j]结尾的等差数列的最长长度。那么

递归方程为：f[i][j]=max{f[k][i]+1,a[k]-a[i]==a[i]-a[j]}，起始条件f[i][j]=1；伪代码如下：

for(int k =0; k <n; k++)

for(int i=k+1;i<n;i++)

for(int j=i+1;j<n;j++)

if(a[k]-a[i] == a[i]-a[j])

f[i][j] = (f[i][j]<f[k][i]+1?f[k][i]+1:f[i][j]);

而，最长长度为即为max{f[i][j]}，即以a[i],a[j]结尾，通过一次查找即可求出是那些元素组成的解。复杂度O（n^3）。

（3）枚举等差，将所有差相同的数对（a,b)，分别以a,以b作为key，另一个作为值，插入到两个map之中，然后解必然在某一个map之内。于是，枚举每一个map，进行删除操作，比如(a,b)那么下一个值为b+(b-a)，前一个值为a-(b-a)，分别到两个map中去查找，迭代之。复杂度O(n^2logn)。

解法如下：

1.排序

2.设极值分别为min, max,那么公差范围为(1..max-min);

3.公差d从(1..max-min)循环，求出每次的最长的数列长度f(d)

<根据已得到的数列的长度，还可以进一步减少循环次数>



所以该题目基础是求出一个有序数组中公差为d的最长等差数列。



较简单动态规划:

设等差数列的起始下标为s,当前下标为i，从s到i，构成的最长的等差数列长度为f(s,i),有

f(s,i+1) = f(s,i) +1 ( input[i+1] == input[s] + f(s,i)*d)

f(s,i) ( input[i+1] != input[s] + f(s,i)*d)



最长的数列长度为：

maxLen = max{f(s,i) s∈[1 .. max-min] i∈[0,sizeof(input)) }



算法时间复杂度应为n的平方，空间复杂度可优化至O(1) （代码中为O(n)）



代码如下：

点击(此处)折叠或打开

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define MAX 1000

void GetSeq(int *input, int size, int d){

if(input == NULL) return;

int result[MAX] = {0};



int startIndex = 0;

int maxLen = 0;

int maxLenStartIndex = -1;

for(;startIndex < size-maxLen; startIndex++){

int i = startIndex;

result[i] = 1;

i++;

for(;i<size;i++){

result[i] = result[i-1];

if(input[i] == input[startIndex] +result[i-1]*d){

result[i]++;

if(result[i]> maxLen){

maxLen = result[i];

maxLenStartIndex = startIndex;

}

}

else if(input[i] > input[startIndex] + result[i-1]*d)

break;

}

}

printf("Max sequence start index: %d, length: %d \n", maxLenStartIndex, maxLen);

}

int main(){

int input[] = {1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18,21,24};

GetSeq(input, sizeof(input)/sizeof(int), 3);

}