蓄水池算法介绍和证明［原创］

蓄水池算法要解决的问题就是在不知道流入数据量多少的情况下，依旧可以随机从这些数中选取K个，乍一听好神奇，其实分析一下背后的概率知识，思想还是很简单的，相信看完我的介绍和证明，你也会觉得很简单。

假设要求随机选择K个元素，假设一共流入的元素有n个。

　　首先数组a[0...k-1]表示最后返回的结果，最开始流入的k个元素依次放入a[0...k-1]中；

　　那么从第k+1到第n个元素每一次都有可能把数组a中的元素踢走换成自己，假设现在流入了第i个元素，搞个随机数生成器，pos＝rand()%i，如果pos<k，那么就把这个元素放到pos这个位置上，把以前这个位置上的元素剔除。

　　最后，返回数组a就可以了，就是概率相等的k个元素。

下面来证明所有的元素都是等概率的：

首先，来看第1～k个元素：

最后存在的概率是：

1*[k/(k+1)]*[(k+1)/(k+2)]*[(k+2)*(k+3)]*...*[(n-1)/n]=k/n

来分析一下，前k个元素，以第一个举例，初始选中概率为1，后面每增加一个元素不能把第一个元素替换掉的概率依次是[k/(k+1)]，[(k+1)/(k+2)]，[(k+2)*(k+3)]。。。

这样到最后一个元素，分子分母相约，得到第一个元素存在的概率是k/n；

再看第k+1～n个元素：

从第k+1开始，k+1<= i <=n，现在有i-1个元素，进来一个元素时选中它的概率是k/i，而后面的元素没有把它替换掉的概率是：

[i/(i+1)]，[(i+1)/(i+2)]，[(i+2)*(i+3)] ... [(n-1)/n]

最后得到概率是[k/i]*[i/(i+1)]*[(i+1)/(i+2)]*[(i+2)*(i+3)]* ... *[(n-1)/n]=k/n

综上，得到蓄水池算法得到k个元素都是等概率的。