计算几何之基础篇

向量

AB−→−\overrightarrow{AB}表示一个从点A到点B的向量。

向量满足：

加法的交换性：a⃗ +b⃗ =b⃗ +a⃗ \vec a+\vec b = \vec b + \vec a

加法的结合性：(a⃗ +b⃗ )+c⃗ =a⃗ +(b⃗ +c⃗ )(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)

加法恒等式：0⃗ +a⃗ =a⃗ \vec 0 + \vec a = \vec a

对于一个实数kk，有ka⃗ k\vec a的方向与a⃗ \vec a相同，|ka⃗ |=k|a⃗ ||k\vec a| = k|\vec a|

对于任意一个向量X⃗ \vec X，存在一个向量−X⃗ -\vec X(模相等，方向相反)使得X⃗ +(−X⃗ )=0\vec X+(-\vec X)=0

对于实数r,sr,s，向量满足：

纯量乘法的结合性：r(sX⃗ )=(rs)X⃗ r(s\vec X)=(rs)\vec X

纯量乘法的分配性：(r+s)X⃗ =rX⃗ +sX⃗ (r+s)\vec X=r\vec X+s\vec X

向量加法的分配性：r(X⃗ +Y⃗ )=rX⃗ +rY⃗ r(\vec X+\vec Y)=r\vec X+r\vec Y

向量的坐标表示法：

对于两个维数相同的点A(x1,x2,...,xn)，B(y1,y2,...,yn)，AB−→−=(y1−x1,y2−x2,...,yn−xn)A(x_1,x_2,...,x_n)，B(y_1,y_2,...,y_n)，\overrightarrow{AB} = (y_1-x_1,y_2-x_2,...,y_n-x_n)

向量加减法：

1°平行四边形法则。

2°对于两个维数相同的向量：它们的加(减)法得出的向量各坐标等于这两个向量各坐标分别相加(减)。

向量的模，即向量的长度：

对于向量a⃗ =(x1,x2,...,xn),|a⃗ |=∑i=1nx2i−−−−−√\vec a = (x_1,x_2,...,x_n),|\vec a| = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}x_i^2}

向量乘法：

点积：

对于两个维数为nn的向量a⃗ =(x1,x2,...,xn),b⃗ =(y1,y2,...,yn)\vec a =(x_1,x_2,...,x_n),\vec b = (y_1,y_2,...,y_n)a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cosθ=∑i=1nxiyi\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| cos\theta = \sum\limits_{i = 1}^{n}x_i y_i

点积求出的是一个标量。

叉积：

二维向量a⃗ =(x1,y1),b⃗ =(x2,y2),\vec a=(x_1,y_1),\vec b = (x_2,y_2),a⃗ ×b⃗ =x1y2−x2y1\vec a \times \vec b = x1y2-x2y1

叉积求出的数值为以a⃗ ,b⃗ \vec a,\vec b为邻边的平行四边形的有向面积。常用叉积来计算三角形或平行四边形面积及判断两向量的相对方向（即向左拐或向右拐）。

向量的旋转：

向量<x,y>逆时针旋转α\alpha角度变成<x∗cosα−y∗sinα,x∗sinα+y∗cosα>

两线段相交

判断两线段是否相交

已知两线段P1P2,Q1Q2P_1P_2,Q_1Q_2

要求这两线段是否相交。

快速排斥试验

若两线段相交，则以这两线段为对角线分别作两个矩形，这两个矩形必须相交。这就是快速排斥试验。

跨立试验

若P1P2P_1P_2跨立Q1Q2Q_1Q_2，则矢量(P1−Q1),(P2−Q1)(P_1-Q_1),(P_2-Q_1)位于矢量(Q2−Q1)(Q_2-Q_1)的两侧。即满足(P1−Q1)×(Q2−Q1)∗(P2−Q1)×(Q2−Q1)<0(P_1-Q_1) \times(Q_2-Q_1) * (P_2-Q_1)\times(Q_2-Q_1) < 0。若(P1−Q1)×(Q2−Q1)∗(P2−Q1)×(Q2−Q1)=0(P_1-Q_1) \times(Q_2-Q_1) * (P_2-Q_1)\times(Q_2-Q_1) = 0，说明P1或P2P_1或P_2在直线Q1Q2Q_1Q_2上，但因为已通过快速排斥试验，所以这两线段是相交的。故上式可改写成 (P1−Q1)×(Q2−Q1)∗(P2−Q1)×(Q2−Q1)≤0(P_1-Q_1) \times(Q_2-Q_1) * (P_2-Q_1)\times(Q_2-Q_1) \le 0

同理，若Q1Q2Q_1Q_2跨立P1P2P_1P_2，则要满足(Q1−P1)×(P2−P1)∗(Q2−P1)×(P2−P1)≤0(Q_1-P_1) \times (P_2-P_1) * (Q_2-P_1) \times (P_2-P_1) \le 0

当P1P2P_1P_2跨立Q1Q2Q_1Q_2且Q1Q2Q_1Q_2跨立P1P2P_1P_2，跨立试验成功。

当快速排斥试验与跨立实验都成功时，这两条线段相交。

求两线段交点

由相似三角形、定比分点等知识我们可以得出两线段交点公式。套用向量乘法，我们能简便地求出两线段交点。

面积

三角形面积

公式很多，在此不赘述，用得较多的是叉积绝对值的一半。

多边形面积

选取多边形上一个顶点作为三角形的一个固定顶点，每次选取多边形上另外两个相邻顶点作为三角形的另外两个顶点，求三角形面积和。

也可看成每次选取多边形上两个相邻顶点，求前一个顶点与后一个顶点关于原点的有向面积和。证明显然。

一个nn边形的面积公式：

S=∑i=1n(XiYi+1−Xi+1Yi)2S = \frac{\sum\limits_{i = 1}^n(X_iY_{i+1}-X_{i+1}Y_i)}{2}

（顶点按顺时针（或逆时针）排序后第ii个顶点坐标(Xi,Yi)，Xn+1=X1,Yn+1=Y1(X_i,Y_i)，X_{n+1}=X_1,Y_{n+1} = Y_1)

凸包

平面上NN个点，用一个最小（周长、面积）的凸多边形包住它们，使每个点落在凸多边形内或凸多边形上。

Graham扫描法

选择一个xx坐标(相同情况下yy坐标)最小的点作为基点，使其他所有点落在第一、四象限上，然后进行极角排序，按逆时针插入其他点，用栈存储凸包上的点，插入时用叉积判断维护栈顶凸性。