UVALive 3026 Period （KMP算法简介）

kmp的代码很短，但是不太容易理解，还是先说明一下这个算法过程吧。

朴素的字符串匹配大家都懂，但是效率不高，原因在哪里？

匹配过程没有充分利用已经匹配好的模版的信息，比如说，

i是文本串当前字符的下标，j是要匹配的模版串当前正在匹配的字符的下标。（下标都从零开始，j同时可以表示已经匹配的字符长度）



当匹配到i = 4， j = 4的时候失配了，朴素的匹配做法是往右边移一位然后从j开始扫，这样做效率很低。

不难发现前面已经匹配好的串ab是最长公共前缀后缀。把串移动到后缀的第一个位置正好是

朴素的匹配过程中第一次匹配能把这个前缀匹配匹配完的位置！因此令j = f[j-1] = 2。

模版串下面这个f数组又是怎么来的呢？

寻找最长公共前缀后缀过程本质上也是一个匹配。

i表示当前要求f[i]的下标，j表示之前串已经匹配的最大前缀后缀长度。（j = -1表示0号位置也没有匹配上）



当i = 6时，之前已经匹配了j个，所以只要i只要从j下标位置开始比较就行了。当匹配的时候f[i] = j+1。

如果不匹配，利用前面已经得到的f值进行匹配。



当i = 7， j = 3时，发生失配，利用之前的f值，可以知道a是最长的前缀和后缀，那么只需要从a开始匹配，因此令j = f[j-1]，

重复上述过程直到匹配或j = -1的时候为止。当前就等于： f[i] = j+1。（j=-1表示没有匹配也是为了方便统一处理）

在代码中，因为当j = 0的时候，j = f[j-1]不好表示，因此把整个f数组向右边移动一位。此时只需把上述过程的j = f[j-1]替换成j = f[j]。

----------------------------------------------分割线----------------------------------------------------------------

这道题要求前缀的最小循环周期。

先构造一个循环的串，然后进行求失配函数f的过程，当第一次前缀长度等于后缀长度并且各占一半的时候，这个前缀一定是最小的循环节。（从第一个结论开始用归纳法证明）

可以归纳出一个结论：在每个循环节终止的位置 i-f[i] ==最短循环节长度。

反过来i能被(i-f[i])整除可以推出i-f[i]是最短循环节。（同样用归纳法）

kmp之前不太理解，只会套。为学习ac自动机，先把的kmp基础打好。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+5;
int f[maxn];
char str[maxn];

void getF(char *s)
{
f[0] = -1;
for(int i = 0, j = -1; s[i]; ){
while(~j && s[i] != s[j]) j = f[j];
f[++i] = ++j;
}
}

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
int n,kas = 0;
while(scanf("%d\n",&n),n){
gets(str);
getF(str);
printf("Test case #%d\n",++kas);
for(int i = 2; i <= n; i++){
if(f[i] && i%(i-f[i]) == 0)
printf("%d %d\n",i,i/(i-f[i]));
}
putchar('\n');
}
return 0;
}