哈夫曼树及哈夫曼树编码

本文转自哈夫曼树及哈夫曼树编码

在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)

树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如

JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，

是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点

的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度

为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径

长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

哈夫曼编码步骤：

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）

二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。

三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。

四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：





虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：





再依次建立哈夫曼树，如下图：





其中各个权值替换对应的字符即为下图：





所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

 

C语言代码实现：

/*-------------------------------------------------------------------------

* Name: 哈夫曼编码源代码。

* Date: 2011.04.16

* Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分)

* 在 Win-TC 下测试通过

* 实现过程：着先通过 HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树，然后在主函数 main()中

* 自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断，若在

* 父结点左侧，则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。

*------------------------------------------------------------------------*/

#include <stdio.h>

#include<stdlib.h>

#define MAXBIT100

#define MAXVALUE10000

#define MAXLEAF 30

#define MAXNODEMAXLEAF*2 -1

typedef struct

{

int bit[MAXBIT];

int start;

} HCodeType;/* 编码结构体 */

typedef struct

{

int weight;

int parent;

int lchild;

int rchild;

int value;

} HNodeType;/* 结点结构体 */

/* 构造一颗哈夫曼树 */

void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],int n)

{

/* i、j： 循环变量，m1、m2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值，

x1、x2：构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/

int i, j, m1, m2, x1, x2;

/* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */

for (i=0; i<2*n-1; i++)

{

HuffNode[i].weight = 0;//权值

HuffNode[i].parent =-1;

HuffNode[i].lchild =-1;

HuffNode[i].rchild =-1;

HuffNode[i].value=i; //实际值，可根据情况替换为字母

} /* end for */

/* 输入 n 个叶子结点的权值 */

for (i=0; i<n; i++)

{

printf ("Please input weight of leaf node %d: \n", i);

scanf ("%d", &HuffNode[i].weight);

} /* end for */

/* 循环构造 Huffman 树 */

for (i=0; i<n-1; i++)

{

m1=m2=MAXVALUE; /* m1、m2中存放两个无父结点且结点权值最小的两个结点 */

x1=x2=0;

/* 找出所有结点中权值最小、无父结点的两个结点，并合并之为一颗二叉树 */

for (j=0; j<n+i; j++)

{

if (HuffNode[j].weight < m1 && HuffNode[j].parent==-1)

{

m2=m1;

x2=x1;

m1=HuffNode[j].weight;

x1=j;

}

else if (HuffNode[j].weight < m2 && HuffNode[j].parent==-1)

{

m2=HuffNode[j].weight;

x2=j;

}

} /* end for */

/* 设置找到的两个子结点 x1、x2 的父结点信息 */

HuffNode[x1].parent= n+i;

HuffNode[x2].parent= n+i;

HuffNode[n+i].weight = HuffNode[x1].weight + HuffNode[x2].weight;

HuffNode[n+i].lchild = x1;

HuffNode[n+i].rchild = x2;

printf ("x1.weight and x2.weight in round %d: %d, %d\n", i+1, HuffNode[x1].weight, HuffNode[x2].weight);/* 用于测试 */

printf ("\n");

} /* end for */

/*for(i=0;i<n+2;i++)

{

printf(" Parents:%d,lchild:%d,rchild:%d,value:%d,weight:%d\n",HuffNode[i].parent,HuffNode[i].lchild,HuffNode[i].rchild,HuffNode[i].value,HuffNode[i].weight);

}*///测试 

} /* end HuffmanTree */

//解码

void decodeing(char string[],HNodeType Buf[],int Num)

{

int i,tmp=0,code[1024];

int m=2*Num-1;

char *nump;

char num[1024];

for(i=0;i<strlen(string);i++)

{

if(string[i]=='0')

num[i]=0;

else

num[i]=1;

}

i=0;

nump=&num[0];

while(nump<(&num[strlen(string)]))

{tmp=m-1;

while((Buf[tmp].lchild!=-1)&&(Buf[tmp].rchild!=-1))

{

 if(*nump==0)

 {

 tmp=Buf[tmp].lchild ;

}

 else tmp=Buf[tmp].rchild;

 nump++;

}

printf("%d",Buf[tmp].value);

}

}

int main(void)

{

HNodeType HuffNode[MAXNODE];/* 定义一个结点结构体数组 */

HCodeType HuffCode[MAXLEAF],cd; /* 定义一个编码结构体数组， 同时定义一个临时变量来存放求解编码时的信息 */

int i, j, c, p, n;

char pp[100];

printf ("Please input n:\n");

scanf ("%d", &n);

HuffmanTree (HuffNode, n);

for (i=0; i < n; i++)

{

cd.start = n-1;

c = i;

p = HuffNode[c].parent;

while (p != -1) /* 父结点存在 */

{

if (HuffNode[p].lchild == c)

cd.bit[cd.start] = 0;

else

cd.bit[cd.start] = 1;

cd.start--;/* 求编码的低一位 */

c=p;

p=HuffNode[c].parent;/* 设置下一循环条件 */

}/* end while */

/* 保存求出的每个叶结点的哈夫曼编码和编码的起始位 */

for (j=cd.start+1; j<n; j++)

{HuffCode[i].bit[j] = cd.bit[j];}

HuffCode[i].start = cd.start;

} /* end for */

/* 输出已保存好的所有存在编码的哈夫曼编码 */

for (i=0; i<n; i++)

{

printf ("%d 's Huffman code is: ", i);

for (j=HuffCode[i].start+1; j < n; j++)

{

printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]);

}

printf(" start:%d",HuffCode[i].start);

printf ("\n");

}

/*for(i=0;i<n;i++){

for(j=0;j<n;j++)

{

 printf ("%d", HuffCode[i].bit[j]); 

}

printf("\n");

}*/

printf("Decoding?Please Enter code:\n");

scanf("%s",&pp);

decodeing(pp,HuffNode,n);

getch();

return 0;

}