湖南2015省队集训(bzoj4174)tty的求助

文章来自我的新博客

题外话：

~~~~当时我们老师要我们三个人出一套题目给 noinoi 集训，然后我们当时就吓尿了！！！各种担心出的题目太水被秒。。。。。然而事实上效果还不错，只有 yytyyt 一位爷 AA 掉了，悲伤的是 mxmx 爆 longlonglonglong 了。。。。。

~~~~距离这道题目出现已经很久了，正好刚刚搭的新博客，所以就来水一发题解。

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description：

~~~~计算∑Nn=1∑Mm=1∑m−1k=0⌊nk+xm⌋\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor对998244353998244353取模的答案。

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solution

~~~~首先考虑∑m−1k=0⌊nk+xm⌋\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor

~~~~∑m−1k=0⌊nk+xm⌋=∑m−1k=0(⌊nk−nk%mm⌋+⌊nk%m+xm⌋)=∑m−1k=0nkm−∑m−1k=0nk%mm+∑m−1k=0⌊nk%m+xm⌋\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor=\sum_{k=0}^{m-1}(\left \lfloor \frac{nk-nk\%m}{m} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{nk\%m+x}{m} \right \rfloor)=\sum_{k=0}^{m-1}\frac{nk}{m}-\sum_{k=0}^{m-1}\frac{nk\%m}{m}+\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk\%m+x}{m} \right \rfloor

~~~~令gcd(n,m)=dgcd(n,m)=d不难发现，nk%mnk\%m取了dd遍数列0,d,2d,3d,4d......m−d0,d,2d,3d,4d......m-d

~~~~所以有：∑m−1k=0⌊nk+xm⌋=∑m−1k=0nkm−∑m−1k=0nk%mm+∑m−1k=0⌊nk%m+xm⌋\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor=\sum_{k=0}^{m-1}\frac{nk}{m}-\sum_{k=0}^{m-1}\frac{nk\%m}{m}+\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk\%m+x}{m} \right \rfloor

~~~~=n∗(m−1)2−d∑md−1k=0kdm+d∑md−1k=0⌊kd+xm⌋=n∗(m−1)2−(m−d)2+d∑md−1k=0⌊kmd+xm⌋=\frac{n*(m-1)}{2}-d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\frac{kd}{m}+d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\left \lfloor \frac{kd+x}{m}\right \rfloor=\frac{n*(m-1)}{2}-\frac{(m-d)}{2}+d\sum_{k=0}^{\frac{m}{d}-1}\left \lfloor \frac{k}{\frac{m}{d}}+\frac{x}{m}\right \rfloor

~~~~根据具体数学上的黑科技：∑m−1k=0⌊x+km⌋=⌊mx⌋\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor x+\frac{k}{m} \right\rfloor=\left \lfloor mx \right\rfloor

~~~~所以有：∑m−1k=0⌊nk+xm⌋=n∗(m−1)2−m−d2+d⌊xd⌋=(n∗m−n−m+1+d+2d⌊xd⌋2\sum_{k=0}^{m-1}\left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor=\frac{n*(m-1)}{2}-\frac{m-d}{2}+d\left \lfloor \frac{x}{d}\right \rfloor=\frac{(n*m-n-m+1+d+2d\left \lfloor \frac{x}{d}\right \rfloor}{2}

~~~~之后就是经典的容斥问题了，首先我们枚举 dd ，

~~~~所以 ans=∑Nn=1∑Mm=1n∗m−n−m+d+2d⌊xd⌋2ans=\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M\frac{n*m-n-m+d+2d\left \lfloor \frac{x}{d}\right \rfloor}{2}

~~~~~~~~~~~~~~~~~=∑min(N,M)d=1∑min(Nd,Md)k=1μ(k)∗(a∗b∗d∗⌊xd⌋+ab(a+1)(b+1)∗D24−a(a+1)b∗D2−b(b+1)a∗D2)=\sum_{d=1}^{min(N,M)}\sum_{k=1}^{min(\frac{N}{d},\frac{M}{d})}\mu(k)*(a*b*d*\left \lfloor \frac{x}{d}\right \rfloor+\frac{ab(a+1)(b+1)*D^2}{4}-\frac{a(a+1)b*D}{2}-\frac{b(b+1)a*D}{2})

~~~~其中a=⌊Nkd⌋,b=⌊Mkd⌋,D=kda=\left \lfloor \frac{N}{kd} \right \rfloor,b=\left \lfloor \frac{M}{kd} \right \rfloor,D=kd

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code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

const long long Mod=998244353;
long long mu[500010]={0};
int hash[500010]={0};
int prime[500010]={0};
int ptot=0;
long long N,M;
double x;

long long power(long long a,long long k)
{
    long long o=1;
    for(;k>0;)
    {
        if(k&1)
            o=o*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        k>>=1;
    }
    return o;
}

void Pre_()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(hash[i]==0)
        {
            prime[++ptot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=N && j<=ptot;j++)
        {
            hash[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    cin>>N>>M>>x;
    if(N>M) swap(N,M);
    Pre_();
    long long inv=power(2,Mod-2);
    long long ans=0;
    for(long long d=1;d<=N;d++)
    {
        for(long long k=N/d;k>=1;k--)
        {
            long long a=N/d/k,b=M/d/k,D=k*d;
            ans=(ans+mu[k]*((a*(a+1)/2*D%Mod*(b*(b+1)/2*D%Mod)%Mod-a*(a+1)/2*D%Mod*b%Mod-b*(b+1)/2*D%Mod*a%Mod+(((d*((int)(x/d)))<<1)*a*b%Mod+d*a*b%Mod))+(Mod<<1)))%Mod;
        }
    }
    cout<<ans*inv%Mod<<endl;
    return 0;
}