【五校联考2015 9.5】送你一棵线段树

题目大意

你有nn棵树。每一棵树的形态如下给出：

0号树T0T_0只有一个点，标号为0

对于第ii棵树Ti(i>0)T_i(i>0)，它通过拷贝第AiA_i和BiB_i棵树，并将对应原树上的CiC_i号和DiD_i号节点链接一条LiL_i的边得到。并且新树上原本属于BiB_i节点的节点标号都加上了sizeAisize_{A_i}。

现在要求你计算每一棵树的这个值

∑i∈Ti∑j∈Tidis(i,j)\sum_{i\in T_i}\sum_{j\in T_i}dis(i, j)

其中dis(i,j)dis(i, j)表示树上点ii和点jj之间的最短路的长度。

n<60,Ai<i,Bi<i,Case<100n<60, A_i < i, B_i < i, Case<100

分析

不难发现最坏情况下，sizeTnsize_{T_n}是可以达到2n2^n的。

我们先想一下如果我们要计算一棵树的答案需要知道些什么，很自然可以想到从这棵树的构成出发。它等于AiA_i的答案加上BiB_i的答案再加上跨过AiA_i和BiB_i的所有路径的长度，前两部分可以递归地算，主要是看后一部分。

后一部分显然等于

sizeAisumDi+sizeBisumCi+LisizeAisizeBisize_{A_i}sum_{D_i}+size_{B_i}sum_{C_i}+L_isize_{A_i}size_{B_i}

sizesize数组很好统计，主要是看如何计算sumsum。

考虑到每棵树上直接需要查询sumsum值的点顶多只有nn个，间接需要查询（即后面的树上的某个点属于前面某棵树上的点，我们依旧需要把它算出）的点顶多只有n2n^2个。

那么依照前面的思路，我们拆成两棵树来分别维护这些关键点的sumsum值，假设xx是TiT_i的关键点且x∈TAix\in T_{A_i}（x∈TBix\in T_{B_i}是同理的）。

sumTi,x=sumAi,x+[dis(Ci,x)+Li]sizeBisum_{T_i, x}=sum_{A_i, x}+[dis(C_i, x)+L_i]size_{B_i}

那么新的问题就出现了，我们还有维护关键点之间的disdis值。其实思路是同理的，就略推导的式子了。

最终的时间复杂度O(n3Case)O(n^3Case)