深度优先搜索算法的通用解法

一、深度优先搜索

深度优先搜索算法(Depth First Search)，是图论中的经典算法。

深度优先搜索算法是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当结点所有子结点那一层都被搜索过，再回溯返回到当前结点的邻结点，继续搜索，直到遍历完整棵树。一般采用的是前序遍历，先根然后再左右结点的方式进行。

一些经典的问题，比如八皇后、马走日、迷宫等，都可以通过深度优先搜索算法来解决。

为了方便描述，下文用DFS来做为深度优先搜索算法的简称。

二、我对DFS的认识

对于DFS，我相信很多人第一次接触很难设计出相应的算法，即便是有不错的编程经验。我第一次几乎没办法设计出解决八皇后的算法，即便是想了很久。最后没办法只好参照别人写的递归式的DFS。之后，虽然对这个算法有一点了解，但由于了解不够深度，过了几天就记不得了，下次又完全不知道怎么入手。然后需要再到网上搜下代码，看一遍后大概才双知道。而且发现每次写代码的时候心里总觉得不踏实，一开始总有错误的地方，并且每次写的代码都有些不同。总之，写过很多次后，依然是停留到了解的阶段，没办法进一步提升，特别是非递归式的DFS一直都停留到靠脑力记忆而不是理解的阶段。

今天周末有点时间，觉得有必要解决这些问题，试着花时间去归纳总结DFS的本质，看能否做到一劳永逸。

我设定的目标是：

1、不仅停留到理解阶段，而是要知道这个算法每一步的实现

2、捉住其中的本质，给出这个算法的设计框架。

3、在1与2的基础中，可以熟练写出递归与非递归两种实现方式 。

经过一个下午的研究，我发现任何DFS只需要通过下面几步就可以实现，无论是递归还是非递归方式。我给这几步分别做了一个命名，分别是find、forward、done、back。

如下：

1、find(right):在树的当前层，横向遍历，尝试找到ok的节点。（这一步通常被叫做剪枝，只留下ok的。）

2、forward(down):若在当前层找到ok的结点，并且当前层不是最后一层:把ok的节点放到当前层；进入下一层第一个结点。跳到find

3、done(right):若在当前层找到ok的结点，并且当前层是最后一层：打印出结果；进入当前层的下一个结点。跳到find

4、back(up):在当前层没有找到ok的节点：返回上一层当前结点的下一个兄弟节点。跳到find

其实最重要的是find。然后后面的forward、done、back只是用来控制搜索走向。这四步可以进一步总结成两步。

为了了解算法，我想最好的切入方式是从一些实例开始。下面分别从八皇后以及马走日等问题做为切入点来分析DFS

三、用DFS解八皇后

1、问题描述

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？

也就是说，使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。

八皇后有92组解，下面给出其中一种解的图例：

Image

2、 问题分析

规则是每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线。我们可以从第0行，第0列开始摆放，然后按照深度优先的原则，按照规则往更下面的行摆放皇后，直到摆放完8行。因为解不只一个，当某一行（包括最后一行跟最后一行之前的所有行）的所有列都被尝试过，再回溯返回到上一行，继续深度优先，直到遍历完整个棋盘的所有情况。得出所有的解。

八皇后问题可以看成是在深度为8的8叉树中，找出所有的解。

3、代码实现

递归算法：

include

include

include

include

include

using namespace std;

/八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后，使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后/

const int N = 8; //棋盘行数

int a
= {0}; //表示棋盘，若a[2]=2,则表示在第3行第2列放一个皇后，因为同一行不能放两个皇后，所以只需要1维数组就可以表示一个棋盘。

int solution = 0;//解的个数

struct Node

{

int row;

int col;

};

//row行，col列, 是否可以摆皇后

bool IsOK(Node node)

{

for (int i = 0; i < node.row; i++)

{

if (a[i] == node.col || (abs(a[i] - node.col) == node.row - i))

{

return false;

}

}

return true;

}

//打印出所有解

void Print()

{

printf(“第%d种解：\n”, ++solution);

for (int i = 0; i < N; i++)

{

for (int j = 0; j < N; j++)

{

if (a[i] == j)

{

printf(“%d”, i);

}

else

{

printf(“#”);

}

}

printf(“\n”);

}

printf("-----------------\n");

}

void DSF()

{

Node node;

stack stack;

node.row = 0;

node.col = 0;

stack.push(node);

while(stack.size() >= 1)

{

//–find

node = stack.top();

while (node.col < N && !IsOK(node))

{

node.col++;

}

if (node.col < N)

{

//–forward

if (node.row < N-1)

{

//把ok的节点放到当前层

a[node.row] = node.col;

stack.pop();

stack.push(node);

//进入下一层的第一个节点
node.row++;
node.col = 0;
stack.push(node);
}
else
{
//--done
a[node.row] = node.col;
Print();

//进入当前层的下一个结点
//node = stack.top();
node.col++;
stack.pop();
stack.push(node);
}
}
else
{
//--back
stack.pop();

if (stack.size() == 0)
{
return;
}
node = stack.top();
node.col++;
stack.pop();
stack.push(node);
}
}

}

int main()

{

DSF();

return 0;

}

三、马走日

1、问题描述

在n*n的棋盘中，马只能走”日”字。马从位置(0,0)出发，把棋盘的每一格都走一次且只走一次。找出所有路径。 5*5的棋盘上，有304种解。

下面是其中一种路径的图例：

Image

2、问题分析

搜索过程是从(0,0)出发，按照深度优先的原则，从8个方向中尝试一个可以走的点，直到尝试过所有的方向，走完棋盘上的所有点，得出所有的解。

马走日问题可以看成是在层数为n*n的8叉树中，找出所有的解。

3、代码实现

同样的，也可以把上面的算法框架，套用于马走日的身上。

递归算法：

include

include

include

using namespace std;

/马走日/

const int N = 5; //棋盘行数跟列数

int matrix

= {0}; //表示棋盘

int solution = 0;//解的个数

int count = 0; //第几步

int move[8][2]={{-1,-2},{-2,-1}, {-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}};//八个方向

//注意find这一步当前层的的结点，结点的坐标不是x与y，而通过Node中的x与y与direction三者计算后得到当前层的结点

struct Node

{

int x;

int y;

int direction;

};

//在棋盘范围内，而且可放棋

bool IsOk(Node node)

{

int x, y;

x = node.x + move[node.direction][0];

y = node.y + move[node.direction][1];

if(( x <= N-1 ) && (x >=0 )

&& (y <= N-1 ) && (y >=0 )

&& (matrix[x][y]==0 ))

{

return true;

}

else

{

return false;

}

}

//打印

void Print()

{

printf(“第%d种解：\n”,++solution);

for (int i = 0; i < N; i++)

{

for (int j = 0; j < N; j++)

{

        printf("%3d",matrix[i][j]);
}
printf("\n");
}

printf("-----------------\n");

}

void DFS()

{

Node node;

stack stack;

int x, y;

count = 1;

node.x = 0;

node.y = 0;

node.direction = 0;

matrix[0][0] = count++;

stack.push(node);

node.direction = 0;

stack.push(node);

while(stack.size() >= 2)
{
//--find
node = stack.top();
while (node.direction < 8 && !IsOk(node))
{
node.direction++;
}
if (node.direction < 8)
{
//--forward
if (count < N * N)
{
//把ok的节点放到当前层
stack.pop();
stack.push(node);
x = node.x + move[node.direction][0];
y = node.y + move[node.direction][1];
matrix[x][y] = count++;

//进入下一层的第一个节点
node.x = x;
node.y = y;
node.direction = 0;
stack.push(node);
}
else
{
//--done
//打印出结果;
x = node.x + move[node.direction][0];
y = node.y + move[node.direction][1];
matrix[x][y] = count++;
Print();
//注意先清除当前结点的数据
matrix[x][y] = 0;
count--;
//进入当前层的下一个结点;
node.direction++;
stack.pop();
stack.push(node);
}
}
else
{
//----back
//返回上一层当前结点的下一个节点
stack.pop();
if (stack.size() == 1)
{
return;
}
node = stack.top();
//注意先清除当前结点的数据
x = node.x + move[node.direction][0];
y = node.y + move[node.direction][1];
matrix[x][y] = 0;
count--;
node.direction++;
stack.pop();
stack.push(node);

}
}

}

int main()

{

DFS();

return 0;

}

四、DFS有更多的变种，但都可以通过上面所说的四个步骤云解决。未完，待续。。。。

五、代码：

https://github.com/helloitworks/algorithm/tree/master/dfs