51nod 1225 余数之和
2015-09-07 19:22
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题目:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1225
F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod,也就是余数。
例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。
给出n,计算F(n), 由于结果很大,输出Mod 1000000007的结果即可。
Input
Output
Input示例
Output示例
解题思路:
其实题目就是求n*n-sigma(floor(n/i)*i),因为对于每个1<=i<=n,余数是n-floor(n/i)*i,因为n/i的值为2*sqrt(n)个,特殊
情况有2*sqrt(n)-1个,那就是n/i==i时,并且像约数一样,是相互对应的,并且大于sqrt(n)的只会出现一次,只需要
枚举1~sqrt(n)就可以了,取k=n/i,对应的2个是k,n/k,于是大于sqrt(n)的就是n/k*k;对于每个n/i==k,他们的i值是递增排
列的,于是可以用等差数列求和,ans=(a1+an)*cou/2,最先出现 的是n/(k+1)+1,最后出现的是n/k,还有就是n/i==k出现的次数,即cou=n/k-n/(k+1)。
代码:
F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod,也就是余数。
例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。
给出n,计算F(n), 由于结果很大,输出Mod 1000000007的结果即可。
Input
输入1个数N(2 <= N <= 10^12)。
Output
输出F(n) Mod 1000000007的结果。
Input示例
6
Output示例
3
解题思路:
其实题目就是求n*n-sigma(floor(n/i)*i),因为对于每个1<=i<=n,余数是n-floor(n/i)*i,因为n/i的值为2*sqrt(n)个,特殊
情况有2*sqrt(n)-1个,那就是n/i==i时,并且像约数一样,是相互对应的,并且大于sqrt(n)的只会出现一次,只需要
枚举1~sqrt(n)就可以了,取k=n/i,对应的2个是k,n/k,于是大于sqrt(n)的就是n/k*k;对于每个n/i==k,他们的i值是递增排
列的,于是可以用等差数列求和,ans=(a1+an)*cou/2,最先出现 的是n/(k+1)+1,最后出现的是n/k,还有就是n/i==k出现的次数,即cou=n/k-n/(k+1)。
代码:
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> using namespace std; const int mod=1000000007; long long n; long long ans; long long inv(int x,int n) { long long temp=x,ans=1; while(n) { if(n&1) ans=(ans*temp)%mod; temp=(temp*temp)%mod; n=n/2; } return ans; } int main() { scanf("%I64d",&n); long long cnt=inv(2,mod-2); ans=((n%mod)*(n%mod))%mod; //cout<<ans<<endl; long long m=(long long)sqrt(n); for(long long i=1;i<=m;i++) { if(n/i==i) { long long temp=n/i*i; ans=((ans-temp)%mod+mod)%mod; continue; } long long temp=(n/i+n/(i+1)+1)%mod; long long cur=(i*(n/i-n/(i+1)))%mod; temp=((temp*cur)%mod*cnt)%mod; temp=(temp+(n/i)*i)%mod; ans=((ans-temp)%mod+mod)%mod; } printf("%I64d\n",ans); return 0; }
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