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AVL树讲解

2015-09-07 09:13 260 查看
转自: http://dongxicheng.org/structure/avl/
1. 概述

AVL树是最早提出的自平衡二叉树,在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一,所以它也被称为高度平衡树。AVL树得名于它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL树种查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n),增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。本文介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

2. 基本术语

有四种种情况可能导致二叉查找树不平衡,分别为:

(1)LL:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由1变为2

(2)RR:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由-1变为-2

(3)LR:插入一个新节点到根节点的左子树(Left)的右子树(Right),导致根节点的平衡因子由1变为2

(4)RL:插入一个新节点到根节点的右子树(Right)的左子树(Left),导致根节点的平衡因子由-1变为-2

针对四种种情况可能导致的不平衡,可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转:

(1)左旋转:将根节点旋转到(根节点的)右孩子的左孩子位置

(2)右旋转:将根节点旋转到(根节点的)左孩子的右孩子位置

3. AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转,有四种旋转方式,分别为:左旋转,右旋转,左右旋转(先左后右),右左旋转(先右后左),实际上,这四种旋转操作两两对称,因而也可以说成两类旋转操作。

基本的数据结构:

3.1 LL

LL情况需要右旋解决,如下图所示:



代码为:

3.2 RR

RR情况需要左旋解决,如下图所示:



代码为:

3.3 LR

LR情况需要左右(先B左旋转,后A右旋转)旋解决,如下图所示:



代码为:

3.4 RL

RL情况需要右左旋解决(先B右旋转,后A左旋转),如下图所示:



代码为:

4. AVL数的插入和删除操作

(1) 插入操作:实际上就是在不同情况下采用不同的旋转方式调整整棵树,具体代码如下:

(2) 删除操作:首先定位要删除的节点,然后用该节点的右孩子的最左孩子替换该节点,并重新调整以该节点为根的子树为AVL树,具体调整方法跟插入数据类似,代码如下:

5. 总结

AVL树是最早的自平衡二叉树,相比于后来出现的平衡二叉树(红黑树,treap,splay树)而言,它现在应用较少,但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

6. 参考资料

(1) 数据结构(C语言版) 严蔚敏,吴伟民著

(2) http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

(3)http://www.cppblog.com/goodwin/archive/2011/08/08/152797.html

(4)http://www.asiteof.me/2010/06/avl/

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更多关于数据结构和算法的介绍,请查看:数据结构与算法汇总

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