bzoj1597 [Usaco2008 Mar]土地购买

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

第1行: 一个数: N

第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Key To Problem

题并不难，但是对于还不会斜率优化的蒟蒻来说简直哭死。
对于一块土地x，如果存在y，使得h[y]>h[x]&&w[y]>w[x],那么x完全被土地y覆盖，就不需要再考虑x土地，所以可以将这些土地去掉。
剩下的土地就可以维护h从小到大，且保证w从大到小。
易证，f[i]=min(f[j]+h[i]*w[j+1]);
为了计算方便，将w数组错一位，f[i]=min(f[j]+h[i]*w[j]);
考虑两个转移f[j],f[k]，且k<j<i ;
若对于f[i]从f[j]转移比从f[k]转移更优，那么f[j]+h[i]*w[j]<f[k]+h[i]*w[k];

移项得f(j)−f(k)w(k)−w(j)<h(i)

之后就是斜率优化的部分了：斜率优化，个人觉得这篇博客写的很棒，推荐一下。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 50010
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node
{
ll h,w;
};
node a
,b
;
ll h
,w
;
int q
;
ll f
;
int n,m;

int cmp(const void *x,const void *y)
{
ll h1=(*(node *)x).h,w1=(*(node *)x).w;
ll h2=(*(node *)y).h,w2=(*(node *)y).w;
if(h1==h2)
{
if(w2<w1)
return -1;
return 1;
}else
if(h1<h2)
return -1;
return 1;
}

double ss(int x,int y)
{
return (double)(f[x]-f[y])/(w[y]-w[x]);
}

int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%I64d%I64d",&a[i].h,&a[i].w);
qsort(a+1,n,sizeof(a[0]),cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(m&&b[m].w<=a[i].w)
m--;
b[++m]=a[i];
}
for(int i=1;i<=m;i++)
h[i]=b[i].h,w[i-1]=b[i].w;
int head=0,tail=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
while(head<tail&&ss(q[head+1],q[head])<h[i])
head++;
f[i]=f[q[head]]+h[i]*w[q[head]];
while(head<tail&&ss(i,q[tail])<ss(q[tail],q[tail-1]))
tail--;
q[++tail]=i;
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}