魔法训练

前言：由于太无聊，所以开坑，目标是叉姐的魔法训练。ps：hust上 dafashi

初级魔法训练

传送门

1. p1：

题意：给定n个集合，每个集合内有一些数字（可以重复）。给出q个询问，每次给出两个数x,y，问能否有一个集合同时包含x,y两个数。(n<=1000,q<=20w)

solution：trie树上应用bitset

2. p2：

题意：有n个三元组(x,y,z)(x,y,z)，定义两个三元组之间的差为D=max(x1−x2,y1−y2,z1−z2)−min(x1−x2,y1−y2,z1−z2)D=max(x1-x2,y1-y2,z1-z2)-min(x1-x2,y1-y2,z1-z2),求所有pair的差之和。(n<=20w)(n<=20w)

solution：设x=x1−x2,y=y1−y2,z=z1−z2x=x1-x2,y=y1-y2,z=z1-z2. 那么D=max(x,y,z)−min(x,y,z)D=max(x,y,z)-min(x,y,z)，在数轴上画出这三个点，可以发现D=(|x−y|+|x−z|+|y−z|)/2D=(|x-y|+|x-z|+|y-z|)/2，再将绝对值里面的数打开，发现有规律，然后就OK了。

闪光点：将max−minmax-min转换一下（只适应3个点）

3. p3：

只要观察到每列都是单调的就OK了

冰系魔法入门

传送门

p1

题意：给定3个矩阵(a,b,c)(a,b,c)，c=a∗bc=a*b，但是cc里有可能有一个元素是错误的，要求找到这个元素。矩阵的维度<=1000<=1000

solution：显然O(n3)O(n^3)的矩阵乘法是不行的。首先判断错误元素出现在哪一行，这个可以O(n2)O(n^2)解决（将矩阵bb每行元素结合成一个），然后再O(n2)O(n^2)判断是哪一列出现错误。

闪光点：特殊情景特殊考虑，创造性的将矩阵bb合并成11列。

p2

题意：勇士战恶龙，有nn回合，每一回合勇士有以下动作可供选择

attack：对恶龙造成xx点伤害

defend：在这一回合无视恶龙的攻击

heal：回复自己y点血量

恶龙则是在回合ii对勇士造成a[i]a[i]的伤害

勇士初始血量：hp1hp1 恶龙初始血量：hp2hp2

谁的血量<=0<=0谁死亡，找到最优策略

闪光点：时光倒流。

solution：假设我每次都攻击，如果当前回合要死了，我就取消前面某一回合的攻击，顺便回血。所以维护一个

max(a[i],y)

的优先队列。

p3

计算几何，待搞懂。

收获：优先队列贪心实现的时光倒流，类似的还有汽车加油问题，

火球术入门

传送门

p1

题意：FJ有nn种硬币，面值为a[i]a[i]的硬币数量有b[i]b[i]个，现在他要给员工发工资，每个月至少XX元，只能多不能少，现在他想知道最多能给员工发多少月的工资。

solution：先用面值大的硬币凑成恰好少于XX的面值，然后再用小的补上来。

p2

题意：在一个二维区域，有一片连在一起的森林，其他地方全是草地（可以行走），主人公现在正在其中某一个草地上，现在他想从初始位置出发，围着森林绕一圈（也就是说路径包围森林），然后回到初始位置，问最短的路程。

solution：应用既然要包围，那么从森林的某一点向右边界连一条线，可以知道路径一定是经过这条线的，所以枚举这条线上的点，开始从

非上

，

非下

bfs，两个加起来构成了一个围着森林的闭合路径。具体实现：bfs的时候特判当前点是否在上述直线上，如果在那么限制方向，否则的随意。

闪光点:特殊的bfs，实在妙

风系魔法基本要领

传送门

p1:

由于没有什么特别的闪光点，所以不写题解了。

p2:

题意：经典的在河两岸修建桥的问题，只不过这次，某一岸的城市是10w数量级，另一个是2K数量级。

solution:首先O(n∗m)O(n*m)数量级的

dp

方程很容易写出，dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i−1][j−1]+abs(x[i]−y[j]))dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+abs(x[i]-y[j]))，然后优化一下，把mm优化成2∗n2*n，也就是对电脑来说，在服务器位置前nn个和后nn个。然后复杂度就是O(n2)O(n^2)了.

p3:

题意:一个长度为n的序列，给出询问[L,R]，我们要找到最长连续子序列使得这个子序列里面的元素全都不相同。

solution:首先一个

dp

预处理出所有元素向左延伸的最大范围，也就是在这个范围里没有重复元素。然后查询[L,R]的时候，如果能延伸的最左端

>=L

的时候，可以直接RMQ查询，唯一麻烦的就是最左端

<L

的情况，但是观察一下，

dp

数组是单调的，所以我们可以二分找到

>=L

的下标，分两种情况讨论。

闪光点:单调和RMQ的巧妙结合。

我是如何成为一名合格的小学生的？

传送门

p1:

题意：有n个元素，每个元素可以属于集合A，也可以属于集合B，当属于集合A的时候，他的值是

a[i]

，当属于集合B的时候，他的值是

b[i]

，找到一种划分方案使得max(A)+max(B)max(A)+max(B)最小。

solution：先将n个元素按a的值大小排序，然后枚举n次，注意预处理处从后往前b值得最大值。因为我枚举第一维的时候，因为左端的a值都小于当前的a值，所以如果左端取得话，对A的最大值没有影响，但是如果不取的话，有可能增加B的最大值，所以我默认全部都取。

p2:

题意：有一个4∗n4*n的板，现在要将他的每一格涂某些颜色，对于格子(x,y)(x,y)，其颜色为Ax,yA_{x,y}，那么必须满足Ax,y>=Ax,y−1A_{x,y} >=A_{x,y-1} ，也就是同一行，后一格颜色大于等于前一格。除此之外，还会给出一些限制条件，Ax1,y1==Ax2,y2A_{x_1,y_1} ==A_{x_2,y_2} 。

solution：首先观察1∗n1*n的板，我们用

dp[i][j]

表示第i个格子用颜色j所能产生的方案数。dp[i][j]=∑jk=1dp[i−1][k]dp[i][j]=\sum_{k=1}^j{dp[i-1][k]}，我们将这个方程转换一下(用另一种形式表示)，我们将dp的第二维消掉

for(int i=0;i<=255;i++)//遍历颜色
{
    for(int j=0;j<=n;j++)
    {
        if(j+1>n)
            continue;
        dp[j+1]+=dp[j];//dp[j]表示格子j的颜色<=i的方案数
    }
}

如果这样表示dp方程的话，同样可以适用于4维的，用

dp[i][j][k][w]

表示小于等于当前颜色的所有方案，注意，有点像扫描线。需要预处理出所有不能放的位置，也就是题目中的限制条件。似乎说不清.代码.

暴雨术入门

传送门

p2

题意：给你一些面值，每种面值只能用一次，问最小的不能组合出来的面额（正整数）。

solution：咋一看有点像博弈里面的

mex

，但是题目给的范围并不能用

dp

搞出来。我们将面值排下序，假如我们当前已经可以拼出[1,limit][1,limit]范围的所有数值，假如当前处理的面值为xx，假如x>limit+1x>limit+1，那么limit+1limit+1永远也不可能被拼出来，否则的话更新limit=limit+xlimit=limit+x。

p3

题意：有一个数列AA，初始都是00，每次进行以下操作，(L,R,c)(L,R,c)，表示对于区间[L,R][L,R]里每个数，如果小于PP，那么A[i]+=cA[i]+=c，否则的话，A[i]+=2∗cA[i]+=2*c.

solution：这个题网上流传一种线段树的写法，估计是以前数据太水了，现在加强数据了，只要是用线段树写的都过不了。正解是用树状数组维护时间，对于操作(L,R,c)(L,R,c)，在LL处添加一个事件(c,time)(c,time)表示在timetime时间加个cc,在R+1R+1处添加一个事件(−c,time)(-c,time)表示在timetime时间减个cc，然后ii从11到nn遍历，首先把所有事件处理完，然后二分时间，找到最小的时间，使得在这个时间之前加的数已经使得A[i]A[i]大于等于PP，找到这个就好办了，剩下的时间乘以两倍就可以了。

实在妙