SHUOJ——归并排序——计算思维J题

归并排序（Mergesort)

归并排序以O（NlogN)的复杂度运行，是使用比较次数最优解以及基于递归算法的很好的实例。

算法原理：
算法的基本操作是合并两个已经排序的表，然后按顺序将两个表中的元素进行比较厚放入第三个表中。 基本的合并算法是取两个输入数组A和B，一个输出数组C，以及三个指针pA,pB,pC. 他们都始于对应数组的开始端。 A[pA]和B[pb]中的较小者放入C的下一个位置，pc以及较小者的指针向前推进一格。 当有其中一格输入表输完时，则将另外一个输入表剩余元素输入到输出表的位置中。
显然，合并两个已经排序的表是线性的，因为最多只能进行N-1次比较（N为元素总数）。 注意点：每次比较都只放一个元素，但最后一次比较完是放两个元素
因此归并排序很容易描述为递归操作。如果N=1 ，则只需要一格元素排序，否则，就以递归的方式将前半部分和后半部分各自排序。

复杂度分析：
我们以N=1时的操作数视为常数1,并且假定N为2的幂整数。那么我们总能将N分成均为偶数的两个部分。另外，对N个数排序的用时等于完成两个大小为N/2的递归排序所用的时间再加上合并的时间（即当前元素总数）
那么我们可以得到：
T(1)=1
T(N)=2T(N/2)+N
我们在2式两边除以N 则能得 T（N）/N=T (N/2)/ N/2 + 1

同样的，因为N是2的幂整数，我们可以将N一直往下除2变成：

T(N)=2T(N/2)+N

T（N/2) / N/2 = T( N/ 4) / N/4 + 1

T( N/4) / N/4 =T (N/8) / N/8 + 1

………………

T（2）/ 2 = T(1) / 1 +1

我们将上式相加，左右相同元素消去，最终得到：

T(N) / N = T(1 ) /1 +log N

最终得到 T（N）= N log N +N = O(N log N)

现在贴例题： http://202.121.199.212/JudgeOnline/problem.php?cid=1130&pid=9

Description

Sort公司是一个专门为人们提供排序服务的公司，该公司的宗旨是：“顺序是最美丽的”。他们的工作是通过一系列移动，将某些物品按顺序摆好。他们的服务是通过工作量来计算的，即移动东西的次数。所以，在工作前必须先考察工作量，以便向用户提出收费数目。

假设我们将序列中第i件物品的参数定义为Ai，那么，排序就是指将A数组从小到大排序。用户并不需要知道精确的移动次数，实质上，大多数人都是凭感觉来认定这一列物品的混乱程度，根据Sort公司的经验，人们一般是根据“逆序对”的数目多少来称呼这一序列的混乱程度。

若数组A的元素A1,…,An互不相同，所谓数组A的“逆序对”是指，若i<j且Ai>Aj，则<i,j>就为一个“逆序对”。请你为Sort公司做一个程序，在尽量短的时间内，统计出"逆序对"的数目。

Input

输入有若干行，每两行对应一种情形。两行中的第一行为一个整数n（1≤n≤1000），接下来一行为n个互不相同的整数。

输入直到文件输入结束。

Output

对每一种情形的测试数据，在一行上先输出“Case #:”，其中“#”是测试数据集的编号（从1开始），接着在下面的输出结果。

Sample Input

5

3 1 4 5 2

6

1 2 3 4 5 6

7

7 6 5 4 3 2 1

Sample Output

Case 1:

4

Case 2

:0

Case 3:

21

题目思路 ： 通过归并算法，以分支 递归 将数组分为前后两个部分， 当前半部分数组元素大于后半部分数组元素时，则说明需要进行比较的替换，

其比较次数 ans =m -i +1 (其中 m为数组中间位置， i为前半部分数组需要进行交换的元素的位置， ans原理不证）

贴代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#ifndef _SHUOJ_J_
#define _SHUOJ_J_

using namespace std;
const int Maxn = 1005;

int a[Maxn],tmp[Maxn];
int ans;

void Merge(int l,int m,int r)
{
int i = l;
int j = m + 1;
int k = l;
while(i <= m && j <= r)
{
if(a[i] > a[j])        //进行比较
{
tmp[k++] = a[j++]; //大于则说明需要交换
ans += m - i + 1;
}
else
{
tmp[k++] = a[i++]; //小于直接放入输出数组
}
}
while(i <= m) tmp[k++] = a[i++]; //此时有一表已经输完，将剩余元素放入表中
while(j <= r) tmp[k++] = a[j++];
for(int i=l;i<=r;i++)
a[i] = tmp[i];     //将排序好的数组放入
}

void Merge_sort(int l,int r)
{
if(l < r)
{
int m = (l + r) >> 1;
Merge_sort(l,m);
Merge_sort(m+1,r);
Merge(l,m,r);
}
}

int main()
{
int n,tt=1;
int cas=0;
while(cin>>n)
{
cas++;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
ans = 0;
Merge_sort(0,n-1);
printf("Case %d:\n",cas);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}

#endif  //SHUOJ_J_