关于异或运算的一个问题

之前在一个群里有一朋友问，给定一个整数序列，其中除了某个数n是单个出现外，其余的数都是成对出现，问怎么求出这个单个的数n，且尽可能小的空间复杂度和时间复杂度。

这个问题第一反应就是异或，因为之前对这类问题是有个大概想法的。因为我知道用异或可以不用第三方变量就可以交换两个数。尽管这想法自己也没去仔细思考原理。后来我仔细想了下，为什么异或能解决这个问题。

这个问题其实简化之后的问题是，给定一个二进制位序列（即0/1序列），无论这个序列中的数如何排列，最终的结果是不变的。

如果套用中学的办法，我们想证明这个问题

<=只需要证明给定的序列，交换任意两个位，整个序列的最终结果不变。

<=异或满足交换律和结合律

交换律：a^b=b^a 显然没问题

结合律：(a ^b)^c=a^(b^c)。根据异或规则，真值表马上可以证明。

但是看了上面的方法，我们好像并没有一种很顺畅的感觉。原因是，我们没有很好的理解异或，或者说简化这种运算。如果我们做一些简化，问题也许理解和证明起来会顺畅得多。

我们观察下某个值 x 和0/1异或的结果：

1^0 = 1， 0^0 = 0 所以 x^0 = x

也就是某个值异或0的作用就是保持原样

1^1 = 0 ， 0^1 = 1 所以 x^1 = ~x

也就是某个值异或1的作用就是对这个值取反

于是任何一个序列中，从左往右依次做异或运算的结果，和序列中的0无关。可以直接去掉。剩下所有1组成的序列。最终的结果也只和1的个数有关系。初始值为0，依次异或1进行取反，所以如果有奇数个1，那结果就是1，偶数个1，结果就是0。这样就不需要通过交换律，结合律来非常理论的分析。毕竟那样只是证明了结果，并不算理解。

所以在32bit系统下，对一个数取反，和异或0xffffffff是相同的结果。