数学语言和程序语言的对比：面向过程与面向集合&命题

共同之处：都使用字符串或数值来引用一个客观实体。当然数字和字符串也可以作为实体对象，这取决于人的解释。

不同之处：数学语句每一行都给出了一个结论, 程序语句的每一行都定义了一个过程。注意这里所指的程序语句不局限于计算机编程语言，在进行数值逼近解微分方程的时候，表达式成为了程序语句。

数学语句的每一行都是一个结论，在给定范围内，每个符号只能引用同一个实体，换句换说，每个符号都是”给定“或”任意给定” 的！意味着这行语句可以成为所有后来出现的结论的前提条件。但是在程序语言中，一个符号可以引用不同的实体，当然因为如此，程序语言无法用于推理。

　　概括来说，程序语言是面向过程的，数学语言是面向命题和集合的。

【例】例如下面的数学语句集：

x=1

y=2

... ... ...

... ... ...

x+1=2

在符号x的作用域内，语句x=1给出了结论：符号x和1都引用同一个数字 ”1“。因此，无论再有多少其它数学语句出现，都可以在任何时候得出另一个结论：表达式x+1可以引用数字 “2”。数学语句的特性保证了符号x引用同一个实体。有时候数学语句并没有表明符号x引用的是哪一个值 ----- 这也绝不意味着符号x可以变化，而是意味着x引用了“任意给定”的某个实体。与程序语言对应，数学语言有作用域和假设语句的概念，作用域范围有多大取决于人的解释。数学语言也有量词的概念，量词是程序语言不具有的概念，要实现量词概念，需要大量for循环。

【例】下面的推理对应两个for循环过程

任意f:R → R

如果f(x0) → a

任意δ

任意x

存在ε

如果 |x - x0| < ε

那么|f(x) - a| < δ

然而有的时候我们确实需要定义一个过程，而不是逻辑推理。这时候数学语言的特性可能就不是那么方便了。例如求解超越方程，我们确实希望有一个符号，在它的作用域内它可以引用不同的实体，可以是从数字“1.0”变化到数字“1.1”，程序语言中的赋值特性实现了这个概念。当然如果不使用赋值特性，仅仅靠数序语言也是可以实现这一点的：因为还有无穷数列。符号x可以引用一个无穷数列，符号xi则引用数列中第i个元素，i是参数。