UVa 106 - Fermat vs. Pythagoras

题目：找到小于N的勾股数组的朴素解（三个数互质），并找到[1, N]中所有勾股数组中未出现过的数字个数。

分析：数论。这里直接利用《原本》中的解法即可。

x = 2st，y = s^2 - t^2，z = s^2 + t^2，

其中：1.s > t；（枚举顺序）

2.s和t互质；（朴素解）

3.s和t奇偶性不同；（反证法证明）

在计算未出现的数字时，需要枚举朴素解的倍数。

说明：伟大的欧几里得╮(╯▽╰)╭。

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

// x = 2st, y = s^2-t^2, z = s^2+t^2

int gcd(int a, int b)
{
	return a%b?gcd(b, a%b):b;
}

int visit[1000001];

int main()
{
	int N, x, y, z;
	while (~scanf("%d",&N)) {
		memset(visit, 0, sizeof(visit));
		int maxt = (int)sqrt(N+0.0), count = 0;
		for (int t = 1; t <= maxt; ++ t) {
			int maxs = (int)sqrt(0.0 + N - t*t);
			if (maxs > maxt) maxs = maxt;
			for (int s = t+1; s <= maxs; ++ s)
				if (s%2 != t%2 && gcd(s, t) == 1) {
					count ++;
					x = 2*s*t;
					y = s*s - t*t;
					z = s*s + t*t;
					//求解非朴素解 
					for (int k = 0; k*z <= N; ++ k)
						visit[x*k] = visit[y*k] = visit[z*k] = 1;
				}
		}
		int p = 0;
		for (int i = 1; i <= N; ++ i)
			p += (visit[i]==0);
		printf("%d %d\n",count, p);
	}
    return 0;
}