Catalan数
2015-08-29 16:47
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Catala数的百科见http://baike.baidu.com/link?url=FRJvyLNaLlSgOvesH7twTy-zdeNrENATKUcVuFdWgIhBQtnZJT9vlpK6z-QQZAihGlnHdVcPiSxUWRlGTvGy0HyB_CcTWYOof3AF_3ToxEvXw9m-Aq9z8LrUOz7qpbe3G0wK-WnNLFxnWVK7dlAMca
原文章在此:http://blog.sina.com.cn/s/blog_497689ad01000azu.html,我只是对其中一些内容进行改进和解答。
令h(1)=1,catalan数满足递归式:
h(n)=h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
该递推关系的解为:h(n)=c(2n-2,n-1)/n(n=1,2,3,...)
推导过程如下:
问题的由来:编号为 1 到 n 的 n 个元素,顺序的进入一个栈,则可能的出栈序列有多少种?
对问题的转化与思考:n 个元素进栈和出栈,总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。问题等价于:n个1和n个0组成一2n位的2进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的累计数,试求满足这条件的数有多少?
解答: 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n)不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个的累计数,和m个1的累计数。此后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个0和n+1个1组成的一个排列。反过来,任何一个由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。
例如 10100101是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。反过来 10100010对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,故有P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)
其应用的最典型的三类问题:
1.括号化问题。
矩阵链乘:P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n-1)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
h(n)
类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)h(n)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
h(n-2)
类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
2*h(n)
类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
h(n)
4.n个结点可构造多少个不同的二叉树?h(n)
具体分析见 http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858,第一次写blog,格式不对,见谅。
原文章在此:http://blog.sina.com.cn/s/blog_497689ad01000azu.html,我只是对其中一些内容进行改进和解答。
令h(1)=1,catalan数满足递归式:
h(n)=h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
该递推关系的解为:h(n)=c(2n-2,n-1)/n(n=1,2,3,...)
推导过程如下:
问题的由来:编号为 1 到 n 的 n 个元素,顺序的进入一个栈,则可能的出栈序列有多少种?
对问题的转化与思考:n 个元素进栈和出栈,总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。问题等价于:n个1和n个0组成一2n位的2进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的累计数,试求满足这条件的数有多少?
解答: 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n)不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个的累计数,和m个1的累计数。此后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个0和n+1个1组成的一个排列。反过来,任何一个由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。
例如 10100101是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。反过来 10100010对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,故有P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)
其应用的最典型的三类问题:
1.括号化问题。
矩阵链乘:P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n-1)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
h(n)
类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)h(n)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
h(n-2)
类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
2*h(n)
类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
h(n)
4.n个结点可构造多少个不同的二叉树?h(n)
具体分析见 http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6764858,第一次写blog,格式不对,见谅。
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