欧几里德算法及其扩展和中国剩余定理（暂时先写到这）

百度百科了用了一个词“朴素”来形容这个算法，我想我根本不理解朴素这个词到底什么意思，看了大半天，红红火火恍恍惚惚...

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

公式表述

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
代码实现：

template<class T>
T gcd(T a, T b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2；

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

递归代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}

非递归代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}

扩展欧几里德应用之线性同余方程：

You are given two positive integers

x

and

p

.
Find a modular inverse for

x mod p

, where

p

is
prime.

Note: the modular inverse of

x mod p

is the

y

value
that makes

(x * y) % p = 1

.

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) {
if (!b) {
d = a; x = 1; y = 0;
}
else {
exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a / b);
}
}

int ReversePrime(int a, int m) {
int d, x, y;
exgcd(a, m, d, x, y);
if (d == 1){
while (x <= 0)
x += m;
}
return x;
}