三角函数逼近锯齿函数和阶梯函数

这其实是国外经典微积分教材《托马斯大学微积分》的两道课后习题，通过这两道习题你就会发现三角函数为什么能在电路、信号等理工科学科中有如此重要的应用了。

三角函数逼近锯齿函数，Matlab代码如下所示：

t=-pi:0.02:pi;
y1=(t+pi).*(t>=-pi&t<=-pi/2)+(-t).*(t>-pi/2&t<=0)+t.*(t>0&t<=pi/2)+(-t+pi).*(t>pi/2&t<=pi);
y2=0.7854-0.63662*cos(2*t)-0.07074*cos(6*t)-0.02546*cos(10*t)-0.01299*cos(14*t);
plot(t,y1,'r',t,y2,'g');

绘得的函数图像为：



上图中，红色为锯齿波函数图像，绿色为逼近的三角函数图像

再来看一个三角函数逼近阶梯函数的例子，Matlab代码如下：

t=-pi:0.02:pi;
y1=1*(t>=-pi&t<=-pi/2)+(-1)*(t>-pi/2&t<=0)+1*(t>0&t<=pi/2)+(-1)*(t>pi/2&t<=pi);
y2=1.2732*sin(2*t)+0.4244*sin(6*t)+0.25465*sin(10*t)+0.18189*cos(14*t)+0.14147*sin(18*t);
plot(t,y1,'r',t,y2,'g');

绘得的函数图像为：


细心的同学可以发现，其实新的函数图像和阶梯函数图像都是原来函数的导数，但是其实新的函数图像对阶梯函数的逼近效果有所下降，若再次对两个函数进行求导，那么得到的函数图像就会完全不同，这也是三角函数逼近存在的一个小小的问题。

但是正是因为三角函数有这种逼近任意函数的效果，使得在自然科学领域，特别是研究电路、信号、振动、热传导等研究领域1有非常重要的作用。