BZOJ 3107 CQOI2013 二进制a+b 构造
2015-08-26 17:21
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题目大意:给定nn位二进制数a,b,ca,b,c,要求重组三个数的各个位,使得a′+b′=c′a'+b'=c'且最小化c′c'
一个构造题咋这么多人写DP……
不考虑位数限制,显然答案只与三个数中11的个数有关
令x=cnta,y=cntb,z=cntcx=cnt_a,y=cnt_b,z=cnt_c,其中cntxcnt_x代表xx中11的个数
不妨令x≥yx\geq y
以下用x=10,y=5x=10,y=5来举例
若z=1z=1,构造方式如下:
000001111111111000001111111111
011110000000001011110000000001
100000000000000100000000000000
证明:显然最低位肯定是1+1=101+1=10,然后再往上肯定都是单个11,构造方式唯一
若1<z<y1,构造方式如下:
00011111111110001111111111
01100000001110110000000111
10000000001101000000000110
证明:
若最低位为1+0=11+0=1,则去掉最低位后变成了(x−1,y,z−1)(x-1,y,z-1)或(x,y−1,z−1)(x,y-1,z-1),二者都需要x+y−z+1x+y-z+1位,算上最低位有x+y−z+2x+y-z+2位,而这种构造法只需要x+y−z+1x+y-z+1位,由数学归纳法可证最低位为1+0=11+0=1不优
那么最低位为1+1=101+1=10就确定了。然后……然后自己YY吧我没证出来不过应该是对的,感觉数学归纳法啥的能证
若z=yz=y,构造方式如下:
0111111111101111111111
0000001111100000011111
1000001111010000011110
证明:这种构造方式保证a′a'和b′b'都是最小的,显然最优
若y<z≤xy,构造方式如下:
0111111111101111111111
0001111100000011111000
1001111011110011110111
证明:
显然c′c'最小x+1x+1位
如果想要使c′c'减小,只能将前面的那些00往前挪或将最后一个00往前挪
显然前面那些00挪不动,只能将最后一个00往前挪(比如变成10011011111001101111)
这说明最后z−yz-y位必须是1+0=11+0=1
那么去掉最后z−yz-y位,问题变成了(x+y−z,y,y)(x+y-z,y,y)
由y=zy=z的证明可得这种构造法是最优的
若x<z<x+yx,构造方式如下:
01111111111000111111111100
01110000000110111000000011
11101111111111110111111111
证明:
显然答案至少z+1z+1位,因为zz个1−x1-x个11一定会得到z−xz-x个11,
而z−x<yz-x,矛盾
然后位数确定后证明就同上了
若z=x+yz=x+y,构造方式如下:
000001111111111000001111111111
111110000000000111110000000000
111111111111111111111111111111
证明:这个用证明么。。。
然后……就完事了
一个构造题咋这么多人写DP……
不考虑位数限制,显然答案只与三个数中11的个数有关
令x=cnta,y=cntb,z=cntcx=cnt_a,y=cnt_b,z=cnt_c,其中cntxcnt_x代表xx中11的个数
不妨令x≥yx\geq y
以下用x=10,y=5x=10,y=5来举例
若z=1z=1,构造方式如下:
000001111111111000001111111111
011110000000001011110000000001
100000000000000100000000000000
证明:显然最低位肯定是1+1=101+1=10,然后再往上肯定都是单个11,构造方式唯一
若1<z<y1,构造方式如下:
00011111111110001111111111
01100000001110110000000111
10000000001101000000000110
证明:
若最低位为1+0=11+0=1,则去掉最低位后变成了(x−1,y,z−1)(x-1,y,z-1)或(x,y−1,z−1)(x,y-1,z-1),二者都需要x+y−z+1x+y-z+1位,算上最低位有x+y−z+2x+y-z+2位,而这种构造法只需要x+y−z+1x+y-z+1位,由数学归纳法可证最低位为1+0=11+0=1不优
那么最低位为1+1=101+1=10就确定了。然后……然后自己YY吧我没证出来不过应该是对的,感觉数学归纳法啥的能证
若z=yz=y,构造方式如下:
0111111111101111111111
0000001111100000011111
1000001111010000011110
证明:这种构造方式保证a′a'和b′b'都是最小的,显然最优
若y<z≤xy,构造方式如下:
0111111111101111111111
0001111100000011111000
1001111011110011110111
证明:
显然c′c'最小x+1x+1位
如果想要使c′c'减小,只能将前面的那些00往前挪或将最后一个00往前挪
显然前面那些00挪不动,只能将最后一个00往前挪(比如变成10011011111001101111)
这说明最后z−yz-y位必须是1+0=11+0=1
那么去掉最后z−yz-y位,问题变成了(x+y−z,y,y)(x+y-z,y,y)
由y=zy=z的证明可得这种构造法是最优的
若x<z<x+yx,构造方式如下:
01111111111000111111111100
01110000000110111000000011
11101111111111110111111111
证明:
显然答案至少z+1z+1位,因为zz个1−x1-x个11一定会得到z−xz-x个11,
而z−x<yz-x,矛盾
然后位数确定后证明就同上了
若z=x+yz=x+y,构造方式如下:
000001111111111000001111111111
111110000000000111110000000000
111111111111111111111111111111
证明:这个用证明么。。。
然后……就完事了
[code]#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int Digit(int x) { int re=0; while(x) ++re,x>>=1; return re; } int Count(int x) { int re=0; while(x) x^=x&-x,++re; return re; } int main() { //freopen("3107.in","r",stdin); //freopen("3107.out","w",stdout); int x,y,z,limit,ans; cin>>x>>y>>z; limit=max( max( Digit(x) , Digit(y) ) , Digit(z) ); x=Count(x);y=Count(y);z=Count(z); if(x<y) swap(x,y); if(z<=y) ans=((1<<x)-1)+((1<<z)-1|((1<<y-z)-1<<x)); else if(z<=x) ans=((1<<x)-1)+((1<<y)-1<<z-y); else if(z<=x+y) ans=((1<<x)-1<<z-x)+((1<<z-x)-1|((1<<x+y-z)-1<<z+z-x-y)); else ans=-1; if(Digit(ans)>limit) ans=-1; cout<<ans<<endl; return 0; }
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