BZOJ 3107 CQOI2013 二进制a+b 构造

题目大意：给定nn位二进制数a,b,ca,b,c，要求重组三个数的各个位，使得a′+b′=c′a'+b'=c'且最小化c′c'

一个构造题咋这么多人写DP……

不考虑位数限制，显然答案只与三个数中11的个数有关

令x=cnta,y=cntb,z=cntcx=cnt_a,y=cnt_b,z=cnt_c，其中cntxcnt_x代表xx中11的个数

不妨令x≥yx\geq y

以下用x=10,y=5x=10,y=5来举例

若z=1z=1，构造方式如下：

000001111111111000001111111111

011110000000001011110000000001

100000000000000100000000000000

证明：显然最低位肯定是1+1=101+1=10，然后再往上肯定都是单个11，构造方式唯一

若1<z<y1，构造方式如下：

00011111111110001111111111

01100000001110110000000111

10000000001101000000000110

证明：

若最低位为1+0=11+0=1，则去掉最低位后变成了(x−1,y,z−1)(x-1,y,z-1)或(x,y−1,z−1)(x,y-1,z-1)，二者都需要x+y−z+1x+y-z+1位，算上最低位有x+y−z+2x+y-z+2位，而这种构造法只需要x+y−z+1x+y-z+1位，由数学归纳法可证最低位为1+0=11+0=1不优

那么最低位为1+1=101+1=10就确定了。然后……然后自己YY吧我没证出来不过应该是对的，感觉数学归纳法啥的能证

若z=yz=y，构造方式如下：

0111111111101111111111

0000001111100000011111

1000001111010000011110

证明：这种构造方式保证a′a'和b′b'都是最小的，显然最优

若y<z≤xy，构造方式如下：

0111111111101111111111

0001111100000011111000

1001111011110011110111

证明：

显然c′c'最小x+1x+1位

如果想要使c′c'减小，只能将前面的那些00往前挪或将最后一个00往前挪

显然前面那些00挪不动，只能将最后一个00往前挪(比如变成10011011111001101111)

这说明最后z−yz-y位必须是1+0=11+0=1

那么去掉最后z−yz-y位，问题变成了(x+y−z,y,y)(x+y-z,y,y)

由y=zy=z的证明可得这种构造法是最优的

若x<z<x+yx，构造方式如下：

01111111111000111111111100

01110000000110111000000011

11101111111111110111111111

证明：

显然答案至少z+1z+1位，因为zz个1−x1-x个11一定会得到z−xz-x个11，

而z−x<yz-x，矛盾

然后位数确定后证明就同上了

若z=x+yz=x+y，构造方式如下：

000001111111111000001111111111

111110000000000111110000000000

111111111111111111111111111111

证明：这个用证明么。。。

然后……就完事了

[code]#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int Digit(int x)
{
    int re=0;
    while(x)
        ++re,x>>=1;
    return re;
}
int Count(int x)
{
    int re=0;
    while(x)
        x^=x&-x,++re;
    return re;
}
int main()
{
    //freopen("3107.in","r",stdin);
    //freopen("3107.out","w",stdout);
    int x,y,z,limit,ans;
    cin>>x>>y>>z;
    limit=max( max( Digit(x) , Digit(y) ) , Digit(z) );
    x=Count(x);y=Count(y);z=Count(z);
    if(x<y) swap(x,y);
    if(z<=y) ans=((1<<x)-1)+((1<<z)-1|((1<<y-z)-1<<x));
    else if(z<=x) ans=((1<<x)-1)+((1<<y)-1<<z-y);
    else if(z<=x+y) ans=((1<<x)-1<<z-x)+((1<<z-x)-1|((1<<x+y-z)-1<<z+z-x-y));
    else ans=-1;
    if(Digit(ans)>limit) ans=-1;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}