NYOJ 119 士兵杀敌（三）（RMQ）

士兵杀敌（三）

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难度：5
 
描述南将军统率着N个士兵，士兵分别编号为1~N,南将军经常爱拿某一段编号内杀敌数最高的人与杀敌数最低的人进行比较，计算出两个人的杀敌数差值，用这种方法一方面能鼓舞杀敌数高的人，另一方面也算是批评杀敌数低的人，起到了很好的效果。所以，南将军经常问军师小工第i号士兵到第j号士兵中，杀敌数最高的人与杀敌数最低的人之间军功差值是多少。现在，请你写一个程序，帮小工回答南将军每次的询问吧。注意，南将军可能询问很多次。输入只有一组测试数据

第一行是两个整数N,Q，其中N表示士兵的总数。Q表示南将军询问的次数。(1<N<=100000,1<Q<=1000000)

随后的一行有N个整数Vi(0<=Vi<100000000)，分别表示每个人的杀敌数。

再之后的Q行，每行有两个正正数m,n，表示南将军询问的是第m号士兵到第n号士兵。输出对于每次询问，输出第m号士兵到第n号士兵之间所有士兵杀敌数的最大值与最小值的差。 样例输入5 2

1 2 6 9 3

1 2

2 4 样例输出1
7

【思路分析】

   一个简单的求区间最值的问题，可以用线段树解决，这里为了学习一下RMQ算法就用RMQ写了代码。以下大致写一写我对RMQ算法的理解：

   RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即
4000
区间最值查询，用到了二分以及动归的思想。其预处理的效率为O(nlogn)，查询的效率为O(1)，所以能够较高效地解决区间最值的查询问题。

   其具体操作为：

   一、预处理：设A[i]是要求区间最值的数列，F[i][j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最值。（DP的状态）例如对于A[5] = {1,5,4,2,3}，F[1][0]表示从第1个数起连续2^0个数中的最值，即从第1个数起连续1个数中的最值，也就是1这个数，同理，F[2][0] = 5，F[3][0] = 4。。。。。。所以F[i][0] = A[i]（i从1开始）（DP的初始值）。找到了DP的状态以及初始值，最后就是找状态转移方程。把F[i][j]平均分为两段，即从i到i
+ 2 ^ (j - 1) - 1为一段，从i + 2 ^ (j - 1)到i + 2^j - 1为另一段，每一段的长度为2 ^ (j - 1)，所以根据二分的思想，F[i][j]的值也就是等于这两段的最值的最值，可以得到状态转移方程为F[i][j] = max(F[i][j - 1],F[i + 2 ^ (j - 1)][j - 1])（假设要求的F为最大值），这样就完成了预处理的操作，注意在处理次幂时用位运算来提高速度。

  二、查询：对于给出的要求查询的区间[src,des]，首先我们要找的就是这个区间的中间位置，令k = (log(des - src + 1)) / log(2)，则k就是这个中间位置，经过预处理后各个区间的最值都存在F这个二维数组内，所以可以直接查询出来，即ans = max(F[src][k],F[des - 2 ^ k + 1][k])，这里还是假设要求的是区间最大值。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxn 10005
using namespace std;
int maxSum[maxn][20], minSum[maxn][20];

void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)
{
for(int j = 1;j < 20;j++)
{
for(int i = 1;i <= num;i++)
{
if((i + (1 << j) - 1) <= num)//区间长度要满足总数条件
{
maxSum[i][j] = max(maxSum[i][j - 1],maxSum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
minSum[i][j] = min(minSum[i][j - 1],minSum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
}
}
}

int main()
{
int num,query;
int src,des;
scanf("%d %d",&num,&query);
for(int i = 1;i <= num;i++)
{
scanf("%d",&maxSum[i][0]);//表示从第i个数起连续2^0（1）个数，即就是这第i个数
minSum[i][0] = maxSum[i][0];
}
RMQ(num);
while(query--)//O(1)查询
{
scanf("%d %d",&src,&des);
int k = (int)(log(des - src + 1.0) / log(2.0));//中间位置
int ansMax = max(maxSum[src][k],maxSum[des - (1 << k) + 1][k]);
int ansMin = min(minSum[src][k],minSum[des - (1 << k) + 1][k]);
printf("%d\n",ansMax - ansMin);
}
return 0;
}