数论 + 公式 - HDU 4335 What is N?

Problem's Link: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335

[b]Mean:[/b]

给你三个数b、P、M，让你求有多少个n满足下式。



[b]analyse:[/b]

看到数据被吓到了，没半点思路，后来看了解题报告，方法竟然是暴力！

当然暴力是有条件的。

有这样一个公式：

A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C) （x>=Phi(C)）

这个公式的具体证明原来在aekdycoin的百度空间有，但是随着百度空间被转移(百度作死，流失了好多优质的文章==)，这篇文章的完整版也流失了。

我们就当这个公式是定理吧！

当n!<Phi(C)时，此时我们暴力解决就可。

当n!大于phi（P）的时候，就需要用上面的降幂公式了。

方法还是暴力，n!%phi(p)会出现0，这是必然的，至少n>=phi(p)为0，

那么(n+1)!%phi(p)也为0，这便出现了重复，转变为n^(phi(p))%p==b的问题了。

固定了指数，根据鸽巢原理，余数是循环的，那么只要找出p个的结果，之后通过循环节求解便可以了。

Trick:当P为1的时候，b为0，这时候答案是m+1,不过m可能为2^64-1，如果加1的话就会溢出，巨坑。

[b]Time complexity: O(N)[/b]

[b]Source code:[/b]

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-08-25-23.41
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64(LL);
typedef unsigned __int64(ULL);
const double eps(1e-8);

LL get_eular(LL m)
{
LL ret=1;
for(LL i=2; i*i<=m; i++)
if(m%i==0)
{
ret*=i-1;
m/=i;
while(m%i==0)
{
m/=i;
ret*=i;
}
}
if(m>1) ret*=m-1;
return ret;
}

long long Quickpow(long long a,long long b,long long m)
{
long long ans=1;
while(b)
{
if(b&1) { ans=(ans*a)%m,b--; }
b/=2,a=a*a%m;
}
return ans;
}

LL b,p,m,ring[100010];
int main()
{
int t,Cas=0;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%I64u %I64u %I64u",&b,&p,&m);
if(p==1)
{
if(m==18446744073709551615ULL)
printf("18446744073709551616\n");
else
printf("%I64u\n",m+1);
continue;
}
LL i=0,phi=get_eular(p),fac=1,ans=0;
for(i=0; i<=m&&fac<=phi; i++)
{
if(Quickpow(i,fac,p)==b)
ans++;
fac*=i+1;
}
fac=fac%phi;
for(; i<=m&&fac; i++)
{
if(Quickpow(i,fac+phi,p)==b)
ans++;
fac=(fac*(i+1))%phi;
}
if(i<=m)
{
LL cnt=0;
for(int j=0; j<p; j++)
{
ring[j]=Quickpow(i+j,phi,p);
if(ring[j]==b)
cnt++;
}
LL idx=(m-i+1)/p;
ans+=cnt*idx;
LL remain=(m-i+1)%p;
for(int j=0; j<remain; j++)
if(ring[j]==b)
ans++;
}
printf("Case #%d: %I64u\n",++Cas,ans);
}
return 0;
}/