【数据结构】-树和二叉树

一、树的定义和基本术语

树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。在一棵非空的树中：

1）有且仅有一个特定的结点称为根（Root）；

2）当n>1时，其余结点可分为m个互不相交的有限集T1，T2，…Tm，其中每一个集合本身也是一棵树，并称为根的子树（SubTree）。

树的结点包含一个数据元素和若干指向其子树的分支。

结点拥有的子树数称为结点的度；

度为0的结点称为叶子（终端结点）；

度不为0的结点称为分支结点（非终端结点）；

结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲；

同一双亲的孩子之间互为兄弟；

结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点；

以某结点为根的子树上所有结点都是该根节点的子孙；

双亲在同一层的结点互为堂兄弟；

树中结点的最大层次称为树的深度

如果将树中各结点的子树看成是从左至右有次序的（不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树；

m棵互不相交的树的集合称为森林；

二、二叉树定义

二叉树：每个结点至多只有两棵子树（即不存在度大于2的结点），并且子树有左右之分，次序不能任意颠倒。

满二叉树：深度为k且有（2^k）-1个结点的二叉树。

对满二叉树的结点进行编号，约定从根节点开始，自上而下，自左至右。

完全二叉树：深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称该二叉树为完全二叉树

三、二叉树性质

1）性质1：在二叉树的第i层上至多有2^（i-1）个结点；

2）性质2：深度为k的二叉树至多有（2^k）-1个结点；

3）性质3：对于任一二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1；

4）性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为ceil（log2n）+1；

5）对一棵有n个结点的完全二叉树按从上至下，从左至右编号，则对任一结点i（1<=i<=n）有：

5-1）如果i=1；则结点i是根节点，无双亲，如果i>1，则其双亲结点是ceil（i/2）；

5-2）如果2i>n，则结点i无左孩子（即结点i为叶子），否则其左孩子为结点2i；

5-3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则其右孩子为2i+1。

四、二叉树的存储结构

1）顺序存储结构：用一组地址连续的存储单元依次自上而下，自左而右存储完全二叉树上的结点元素。这种顺序存储结构只适用于完全二叉树。

2）链式存储结构：二叉树的结点由一个数据元素和分别指向其左右子树的两个分支构成，则表示二叉树的链表结点至少包含三个域：数据域和左、右指针域。为了便于找到结点的双亲，还可在结点结构中增加指向双亲的双亲指针域。利用这两种结点结构所得到的二叉树存储结构分别称为二叉链表和三叉链表。

五、遍历二叉树

遍历二叉树：按照某条路径访问树中的每一个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。

1）先序遍历：访问根节点，先序遍历左子树，先序遍历右子树；

2）中序遍历：中序遍历左子树，访问根节点，中序遍历右子树；

3）后序遍历：后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根节点；

六、线索二叉树

在有n个结点的二叉树中，必须有n+1个空链域，我们可以利用这些空链域来存放结点的前驱和后继信息。试做如下规定：

1）若结点有左子树，则左指针指示其左孩子，否则左指针指示其前驱；

2）若结点有右子树，则右指针指示其右孩子，否则右指针指示其后继。

以这种结点结构作为存储结构的二叉链表，叫做线索链表。

指向结点前驱和后继的指针，叫做线索；

加上线索的二叉树称作线索二叉树。