求最大公约数的两种算法（Euclid&&Stein）

欧几里德算法—辗转相除法

long long Euclid(long long a, long long b)
{
return b == 0 ? a : Euclid(b, a % b);
}

欧几里德算法缺陷（摘自度娘百科）

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。

一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

弥补了缺陷的Stein算法

算法思想：（摘自度娘）

由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。

gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。

当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。

long long Stein(long long a, long long b)  //0 <= b < a
{
long long r = 0;
while(b > 0)
{
if((a % 2 == 0) && (b % 2 == 0))
{
a = a >> 1;
b = b >> 1;
r = r + 1;
}
else if((a % 2 == 0) && (b % 2 == 1))
{
a = a >> 1;
}
else if((a % 2 == 1) && (b % 2 == 0))
{
b = b >> 1;
}
else if((a % 2 == 1) && (b % 2 == 1))
{
a = (a - b) >> 1;
}
if(a < b) swap(a, b);
}
return a << r;
}

两种算法的对比：（摘自度娘）

欧几里德算法每次迭代中最恶劣的情况是，a=2b-1，这样，迭代后，r=b-1。如果a小于2^N，这样大约需要4N次迭代。而Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数，Stein算法将更有优势。