把空间椭圆曲线的参数方程变成坐标平面上的隐函数方程

目标

空间椭圆曲线：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x(t)=y(t)=z(t)=1425(−177t∓219−−√875−3t(27t+50)−−−−−−−−−−−−−−−√+450)1425(159t±919−−√875−3t(27t+50)−−−−−−−−−−−−−−−√+100)t\left\{\quad
\begin{array}{cl}
x(t)=&\!\!\!\!\!\frac{1}{425} \left(-177 t \mp 2 \sqrt{19} \sqrt{875-3 t (27 t+50)}+450\right) \\
y(t)= &\!\!\!\!\!\frac{1}{425} \left(159 t \pm 9 \sqrt{19} \sqrt{875-3 t (27 t+50)}+100\right) \\
z(t)=&\qquad\qquad t \\
\end{array}
\right.

ParametricPlot3D[{{1/425 (450-177z-2Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),1/425 (159z+100+9Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),z},{1/425 (450-177z+2Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),1/425 (159z+100-9Sqrt[19(875-81z^2-150z)]),z}},{z,-30,30},PlotStyle->{Directive[Orange,Opacity[1],Specularity[White,30]],Directive[Orange,Opacity[1],Specularity[White,30]]},ImageSize->700,PlotRangePadding->Scaled[.1],PlotPoints->1500,AxesLabel->{Style["x",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold],Style["y",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold],Style["z",Black,18,FontFamily->"Times New Roman",Italic,Bold]}]/.Line[pts_,rests___]:>Tube[pts,0.06,rests]

经正交变换到坐标平面上的任意隐函数方程。

求解

这个椭圆在平面 π:9X+2Y+3Z−10=0\pi:{9 X+ 2 Y+ 3Z -10=0} 上。简单的思路是，先把它正投影到该平面，然后再把该平面反射到某个坐标平面上，比如 xoyxoy。

大致的步骤是：

求π\pi 上的正投影矩阵（齐次坐标表示），计算出投影之后……参数方程的形式没有发生任何变化；

求 π\pi 到 xoyxoy 的相互反射矩阵，利用齐次坐标和Householder矩阵表示法，这个也很容易得到，从而得到xoyxoy 坐标平面上的参数方程，坐标的 zz 项必然是 00, 否则就是你算错了；

利用 Eliminate 或 GroebnerBasic 方法，对 x(t)，y(t)x(t)，y(t) 进行消元，消去参数就得到了 F(x,y)=0F(x,y)=0 形式的隐函数方程；但是可能是关于 x,yx,y的 四次的多项式形式。它相当于求解的时候无法排除的另外一个椭圆被引入，去掉即可。

用Reduce的方法化简，或者干脆对 xx (或 yy )求一元四次方程的符号解，xi(y)=fi(y),i=1,2,3,4x_i(y)=f_i(y),\quad i=1,2,3,4。每个符号解的表达式自然对应于一段椭圆弧曲线的隐函数方程。把两个有效的隐函数形式的表达式作为因子相乘，得到的就是拼接起来的所求的椭圆的隐函数方程。

ContourPlot[{x==1/1374106940 (1764833994+116325489 Sqrt[94]+383223186 y-56903469 Sqrt[94] y-7 \[Sqrt](370882257712465226+21496012552753644 Sqrt[94]-2437721560491300 y+734799305617824 Sqrt[94] y-39873980011335030 y^2-2840782215729132 Sqrt[94] y^2)),x==1/1374106940 (1764833994+116325489 Sqrt[94]+383223186 y-56903469 Sqrt[94] y+7 \[Sqrt](370882257712465226+21496012552753644 Sqrt[94]-2437721560491300 y+734799305617824 Sqrt[94] y-39873980011335030 y^2-2840782215729132 Sqrt[94] y^2)),x==1/16165964 (20038590+1467345 Sqrt[94]-1024722 y-792645 Sqrt[94] y-5 Sqrt[108441336840026+2474011696404 Sqrt[94]-1949543609220 y+311578887504 Sqrt[94] y-10910839196070 y^2-464210336772 Sqrt[94] y^2]),x==1/16165964 (20038590+1467345 Sqrt[94]-1024722 y-792645 Sqrt[94] y+5 Sqrt[108441336840026+2474011696404 Sqrt[94]-1949543609220 y+311578887504 Sqrt[94] y-10910839196070 y^2-464210336772 Sqrt[94] y^2])},{x,-3,7},{y,-5,5},PlotPoints->300,ImageSize->600,ContourStyle->{Red,Blue,Magenta,Green}]

最后求得的隐函数方程是：

8082982x2+3x((341574+26421594−−√)y−55(121446+889394−−√))8082982 x^2+3 x \left(\left(341574+264215 \sqrt{94}\right) y-55 \left(121446+8893 \sqrt{94}\right)\right) +9(1143967+4546594−−√)y2−60(108762+2194194−−√)y−9412594−−√−65170775=0+9 \left(1143967+45465 \sqrt{94}\right)
y^2-60 \left(108762+21941 \sqrt{94}\right) y-94125 \sqrt{94}-65170775=0

画出来是这样的：