你应该掌握的四种参数估计技术

所谓估计

概率学上，对未知的概率密度函数进行估计有两种方法：参数估计和非参数估计。非参数估计是不假定数学模型，直接利用已知类别的学习样本先验知识估计数学模型。常用的方法由直方图方法、神经网络方法、Parzen窗法和KnK_n近邻法。而参数估计则是先假定研究问题具有某种数学模型，如正态分布、二项分布等，再利用已知类别的学习样本，估计模型里的参数。常用的方法有距估计、最大似然估计、最大后验估计和贝叶斯估计。本文主要介绍四种常用的参数估计技术。

参数估计

1. 距估计

用样本矩作为相应总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。用数学公式描述矩估计的过程为：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪μ1=μ1(θ1,θ2,...,θk)μ2=μ2(θ1,θ2,...,θk)......μk=μk(θ1,θ2,...,θk)⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
\left\{
\begin{matrix}
\mu_1=\mu_1(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k) \\
\mu_2=\mu_2(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k) \\
... ...\\
\mu_k=\mu_k(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)
\end{matrix}
\right\}


从中解出参数

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ1=θ1(μ1,μ2,...,μk)θ2=θ2(μ1,μ2,...,μk)......θk=θk(μ1,μ2,...,μk)⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
\left\{
\begin{matrix}
\theta_1=\theta_1(\mu_1,\mu_2,...,\mu_k) \\
\theta_2=\theta_2(\mu_1,\mu_2,...,\mu_k) \\
... ...\\
\theta_k=\theta_k(\mu_1,\mu_2,...,\mu_k)
\end{matrix}
\right\}


其中，θ1,θ2,...,θk\theta_1,\theta_2,...,\theta_k是k个待估参数， μ1,μ2,...,μk\mu_1,\mu_2,...,\mu_k是总体k阶矩。先用已知样本，计算k阶样本矩，公式为：

Al=∑Ni=1XliN
A_l=\frac {\sum_{i=1}^NX_i^l} {N}


然后用计算得到的k阶样本矩来作为对总体矩的估计，带入方程得到对应的矩估计：

θ¯l=θi(A1,A2,...,Ak)
\overline\theta_l=\theta_i(A_1,A_2,...,A_k)

2. 最大似然估计（MLE）

样本X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n来自总体X，总体的概率密度为P{X=x}=p(x;θ)P\{X=x\}=p(x;\theta)或f(x;θ)f(x;\theta)。其中θ∈Θ\theta\in\Theta的形式已知，θ\theta为待估参数。得到其似然函数为：

L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1nf(xi;θ)
L(\theta)=L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)


那么，当L(x1,x2,...,xn;θ)L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)在θ∈Θ\theta\in\Theta中取得最大值时，即公式描述为：

L(x1,x2,...,xn;θ¯)=maxθ∈ΘL(x1,x2,...,xn;θ)
L(x_1,x_2,...,x_n;\overline\theta)=max_{\theta\in\Theta} L(x_1,x_2,...,x_n;\theta)


θ¯\overline \theta就是θ\theta的最大似然估计θ¯(x1,x2,...,xn)\overline\theta(x_1,x_2,...,x_n)。在应用中常常采用对数形式给出对数似然方程，在计算中，令dL(θ)dθ=0\frac {dL(\theta)}{d\theta}=0或者dlogL(θ)dθ=0\frac {d\log L(\theta)}{d\theta}=0，得到最大值处的θ\theta就是最大似然估计。

3. 最大后验估计（MAP）

最大似然估计没有考虑θ\theta的概率分布，或者认为θ\theta的概率分布在θ∈Θ\theta\in\Theta上式均匀分布的。在贝叶斯学派看来，θ\theta也是随机变量，有着一定的先验概率。因此如果不加以考虑，估计结果会出现较大的误差。最大后验估计的表达式为：

p(θ|x1,x2,...,xn)=p(x1,x2,...,xn|θ)×p(θ)∑i{p(x1,x2,...,xn|θi)×p(θi)}=L(x1,x2,...,xn|θ)×p(θ)const
p(\theta|x_1,x_2,...,x_n)=\frac {p(x_1,x_2,...,x_n|\theta) \times p(\theta)} {\sum_i\{p(x_1,x_2,...,x_n|\theta_i)\times p(\theta_i)\}}=\frac{L(x_1,x_2,...,x_n|\theta)\times p(\theta)}{const}


公式可以等效为：

后验概率=(似然度×先验概率)标准化常量=标准似然度×先验概率
后验概率=\frac{(似然度\times 先验概率)}{标准化常量}=标准似然度\times 先验概率

4. 贝叶斯估计

贝叶斯估计也是基于后验概率公式，但引入了损失函数作为判断的标准。贝叶斯估计得一般步骤为

选择先验概率分布，设为π(θ)\pi(\theta)

确定似然函数。

确定参数θ\theta的后验分布。

选择损失函数。

引入一个非负函数，记为loss(θ^,θ)loss(\hat\theta,\theta)来刻画参数真实值θ\theta与估计值θ^\hat\theta的差距严重程度，称为损失函数。常用的损失函数有：平方误差损失函数

估计参数。

根据选择的损失函数的期望误差最小值对应的解θ^\hat\theta作为参数的贝叶斯估计值。以平方误差损失函数为例，贝叶斯估计给定X时的条件期望为：

θ^=E[θ|X]=∫θp(θ|X)dθ
\hat\theta=E[\theta|X]=\int\theta p(\theta|X)d\theta


2015-8-22

艺少