动态规划 01背包 最大子数组和 最小路径 斐波那契数列
2015-08-22 12:09
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动态规划是解决多决策问题的一种解决方案,而非一种算法。其中心思想在于,将原问题分解成多个子问题,通过子问题的求解,得到原问题的答案。
01背包问题:
题目描述:有编号a,b,c,d,e的物件物品,他们的重量分别是2,2,6,5,4.他们的价值分别是6,3,5,4,6现在给到承重10的背包,如何将背包装入的物品具有最大价值总和.
表格从上到下,从左向右,c4表示当背包承重为4时,有物品a,b,c可装入时,背包最大价值。
背包转换方程::f[i,j]=Max{f[i-1,j-Wi]+Pi(j>=Wi),f[i-1,j]}
f[i,j] 表示在前i件物品中,选择若干件放在背包承重j的背包中以获得最大价值。
Pi 物品i的价值.
Wi物品i的重量
问题决策:为了使背包承重j的价值最大,物品i是否需要放进背包。
附代码:
#include "stdafx.h"
01背包问题:
题目描述:有编号a,b,c,d,e的物件物品,他们的重量分别是2,2,6,5,4.他们的价值分别是6,3,5,4,6现在给到承重10的背包,如何将背包装入的物品具有最大价值总和.
表格从上到下,从左向右,c4表示当背包承重为4时,有物品a,b,c可装入时,背包最大价值。
背包转换方程::f[i,j]=Max{f[i-1,j-Wi]+Pi(j>=Wi),f[i-1,j]}
f[i,j] 表示在前i件物品中,选择若干件放在背包承重j的背包中以获得最大价值。
Pi 物品i的价值.
Wi物品i的重量
问题决策:为了使背包承重j的价值最大,物品i是否需要放进背包。
附代码:
#include "stdafx.h"
int max(int a,int b) { return a>b?a:b; } /* 0 1 背包 */ int MaxValue() { int Weight[5]={2,2,6,5,4};//物品的重量数组 int Value[5]={6,3,5,4,6};//物品价值数组 int Total_Count = 5/*物品个数*/, Total_w = 10 /*背包承重*/; int f[5][10]={0}; for(int Cur_w =1;Cur_w <= Total_w;Cur_w++)//背包重量 { for(int i=0;i<Total_Count;i++)//物品个数 { { //这里需要考虑Cur_w是否大于Weight if(Cur_w >= Weight[i]) { if(i==0)//第一件物品 { f[i][Cur_w-1] = Value[i]; } else { f[i][Cur_w-1] = max(f[i-1][Cur_w-1-Weight[i]]+Value[i],f[i-1][Cur_w-1]); } } else//当前背包承重小于i物品的重量时 { //同样考虑第一件物品的情况 if(i==0) { f[i][Cur_w-1] = 0; } else { f[i][Cur_w-1] = f[i-1][Cur_w-1]; } } } } } return f[4][9]; }
最大子数组和。 问题描述:一个整数数组,一个非空的字数组,求它的最大和 设定dp[i]表示以a[i]结尾的最大字数组和 问题转化:dp[i] = max(dp[i-1]+a[i],a[i]) dp[i]取决于dp[i-1]+a[i]和a[i]的最大值。 代码:
/* 最大子数组 */ #include<vector> using namespace std; int MaxSubarray(int a[],int n) { vector<int> dp(n); dp[0] = a[0]; int maxSub =a[0]; for(int i=1;i<n;i++) { dp[i] = max(dp[i-1]+a[i],a[i]); maxSub = max(dp[i],maxSub);//记录每一次的字数组和,并取到最大值 } return maxSub; }
最小路径: min(A->E)=min((A->B1)+min(B1->E),(A->B2)+min(B2->E)) 同样,将A->E的最小路径问题转化为B1->E,B2->E的子问题,求出子问题后,再求解原始问题。 如下二维矩阵,表示从列A->E 到 行A->E的所有路径,除过有直接到E的几个节点外 其他均为0,优化期间path[i][10]表示经计算后i点到E的最小路径。所以 path[i][10]=min(path[i][j]+path[j][10],path[i][j+1]+path[j+1][10],...); path[i][j]表示i行所有不为0的项。
/* 最短路径 */ int path[11][11] = //终点 A B1 B2 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 E /*起点*/ /*A*/{ 0, 5, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, /*B1*/ 0, 0, 0, 1, 6, 3, 0, 0, 0, 0, 0, /*B2*/ 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 0, 0, 0, 0, /*C1*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 6, 0, 0, /*C2*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, /*C3*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, /*C4*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, /*D1*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, /*D2*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, /*D3*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, /*E*/ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}; int MinPath() { int i,j; for(i=9;i>=0;i--) { vector<int> temp(11); for(j=10;j>=0;j--) { //用当前行中,除最后一列的所有数字,加上path[j][10],取最小 ,赋给path[i][11]; if(path[i][j] > 0 && j!=10)//此处需要判断边界条件 { temp[j] = path[j][10]+path[i][j]; } } vector<int>::iterator it =temp.begin(); int temp_minipath = 10000;//指定一个远大于所有路径之和的所有值 for(;it!=temp.end();it++) { if(*it!=0) { temp_minipath = temp_minipath < *it?temp_minipath:*it; } } if(temp_minipath != 10000) path[i][10] = temp_minipath;//求当前点到E的最小路径 } return path[0][10]; } /* 斐波那契数列 */ 斐波那契数列:动态规划的优化在于将所有计算过的选项用数组dp 保存起来,下次计算的时候,直接 运用,跳过指数级的重复计算过程。
int DpFiboArray(int n) { static vector<int> dp(n+1); if(n==0 || n==1) { dp = 1; return dp ; } else { if(dp[n-1] == 0) dp[n-1] = DpFiboArray(n-1); if(dp[n-2] == 0) dp[n-2] = DpFiboArray(n-2); dp = dp[n-1]+dp[n-2]; } return dp ; } int FiboArray(int n) { if(n==0 || n==1) return 1; else return FiboArray(n-1)+FiboArray(n-2); } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { // 01背包 int result = MaxValue(); //最大字数组 int a[10]={31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84}; int maxsub =MaxSubarray(a,10); //最短路径 int minpath = MinPath(); //斐波那契数列 int FiboNum =DpFiboArray(20); return 0; }
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