斐波那契数列的递归与循环的算法实现

前半篇转载地址：/article/7661681.html

斐波那契数列，但凡学过编程的童鞋们应该都懂，背景就不介绍了（就是大兔子生小兔子的故事），无论是面试还是实际的运用，常见的一个思路就是先用最先基本的办法实现，然后根据实际要求，一步步改进，优化算法效率。今天就以斐波那契数列这个大家都很熟悉的为例来小小感受一下。

[java] view
plaincopy

Version 1

long Fibonacci(int n)

{

if (n == 0)

return 0;

else if (n == 1)

return 1;

else if (n > 1)

return Fibonacci (n - 1) + Fibonacci (n - 2);

else

return -1;

}

这是最基本的递归思路，大家的第一个斐波那契数列应该都是写成这样的，但是不知道大家有没有测试过它的性能如何，不测不知道，一测吓一跳，N=1000,500,100,50都是黑窗口半天跳不出数据，看CPU是100%（我的电脑是25%，但是因为我的电脑是4核的，大家懂的），最后N=45得到的结果是145秒。 性能为什么会这么低呢？以N=5为例子，该程序的执行过程如下图所示，可以想象，N到一定的数目（其实还是很小的数目，比如45.。。。）就会有很多次的递归调

用



那么，自然的想法是，有什么办法可以减少递归的次数呢？再观察上图，可以看出，有重复的递归调用。比如F(3)就计算过两次，一个解决的方法就是记录下来已经得到结果的F（n），避免重复多次计算。 Version
2 long tempResult[10001]={0};

[java] view
plaincopy

long Fibonacci2(int n)

{

if (n == 0)

return 0;

else if (n == 1)

return 1;

else if (n > 1)

{

if(tempResult
!= 0)

return tempResult
;

else

{

tempResult
= Fibonacci2 (n - 1) + Fibonacci2 (n - 2);

return tempResult
;

}

}

}

这次优化之后，效率明显提高，N=1000时，运行时间仍趋近于0秒，但是当N=5000时出现了栈溢出的情况。再来分析，栈溢出，那么栈当中有什么呢？调用信息，变量。我们version2的改进，是将version1的调用树砍掉了一半，所以，要真正解决这个问题，还是要放弃递归算法。大家应该了解，常见的改变递归算法的方式是将它变成循环。实际上，递归是从大往小分解问题，循环则是反方向算法。

[java] view
plaincopy

long Fibonacci3(int n)

{

long * temp = new long[n + 1];

temp[0] = 0;

if (n > 0)

temp[1] = 1;

for(int i = 2; i <= n; ++i)

{

temp[i] = temp[i - 1] + temp[i - 2];

}

long result = temp
;

delete[] temp;

return result;

}

现在，当N=1000000的时候，时间仍然小于1秒了。 当然，问题还没有结束，虽然version3看上去已经是一个效率很好的算法了。前面的解决方式都是自然的从算法角度来考虑，但是，数学的力量是伟大的。version3的复杂度是O（n），有没有对数级的算法，或者更好的，常量时间算法呢？ 回归到高中数学，发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)是一个数列的通项公式，经过化简，我们可以得到它的递推公式，可以一步得出结果，为O(1)的时间复杂度。但是由于最后的递推公式中含有无理数，所以不能保证结果的精度。 还有没有别的解法呢？有没有对数时间的解法？要对数时间，就要使用分治二分策略。有这个方向，但是没有想出来。当然肯定有牛人想出来的，大家感兴趣的给个链接看看http://hi.baidu.com/houtangcaicai/blog/item/aa40e31a6160cc71dab4bdfd.html。

后半篇转载地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_a2a6827e01013sbn.html

斐波那契数列：兔子问题及其应用

斐波那契(Fibonacci1170-1250)，意大利最杰出的数学家。其父为比萨的商人，他认为数学是有用的，因此送斐波那契向阿拉伯教师们学习数学，掌握了印度数码之一新的记数体系，后来游历埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地，掌握了不同国家和地区商业的算术体系，1200年回答比萨，潜心研究数学，1202年写成《算盘全集》，此书广为流传，为在欧洲传播印度-阿拉伯数码起了重要的作用。

1228斐波那契在修订《算盘全集》修订本中，增加了一道非常有名的兔子繁殖问题，问题是这样的：如果一对兔子每月生一对兔子；一对新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？

先看前几个月的情况：第一个月有一对刚出生的兔子，即F(1)=1；第二个月，这对兔子长成成年兔，即F(2)=1；第三个月，这对成年兔生出一对小兔，共有两对兔子，即F(3)=2；第四个月，成年兔又生出一对小兔，原出生的兔子长成成年兔，共有三对兔子，即F(4)=3；第五个月，原成年兔又生出一对小兔，新成年兔也生出一对小兔，共有五对兔子，即F(5)=5；……以此类推，可得每个月的兔子对数，组成数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，其中的任一个数，都叫斐波那契数。

题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，称为成年兔子；新生的兔子不能生殖；新生兔子一个月就长成成年兔子。求的是成年兔子与新生兔子的总和。每月新生兔对数等于上月成年兔对数。每月成年兔对数等于上个月成年兔对数与新生兔对数之和。最后得关系式：

F(1)=F(2)=1；

F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)。

法国数学家比内(Binet)证明了通项公式为





#include<iostream>

using namespace std;

int main()

{

int i,a[30]={0,1,1};//数组的定义，用来储存数据

for(i=3;i<30;i++)

{

a[i]=a[i-1]+a[i-2];//Fibonacci的算术方程

}

for(i=1;i<30;i++)

{

printf("a[%d]=%d\n",i,a[i]);//输出

}

}



C++基础谭浩强书里的程序

#include<iostream>

#include<iomanip>

using namespace std;

int main()

{

long f1,f2;

int i;

f1=f2=1;

for(i=1;i<20;i++)

{

cout<<setw(12)<<f1<<setw(12)<<f2;

if(i%2==0)cout<<endl;

f1=f1+f2;

f2=f2+f1;

}

return 0;

}