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寻找数组中的最大值和最小值

2015-08-21 21:40 323 查看

编程之美有一道是关于寻找数组中的最大值和最小值的题目，该作者提供了四种思路解法：

第一种思路：

直接暴力遍历寻找数组中的最大值和最小值，该算法比较次数为2*N次。

第二种思路：

首先按顺序将数组中相邻的两个数分在同一组，例如数组为{5,6,8,3,7,9},按其思路分组，其结果如图所示：

接着比较同一组中奇数位数字和偶数位数字，将较大的数放在偶位数上，较小的数放在奇数位上，经过N/2次比较后，较大的数都放到了偶数位置上，较小的数则放到了奇数位置上。如图：

最后，再奇数位和偶数位置上分别寻找最小值和最大值，各需要比较次数是N/2,故整个算法比较次数是1.5*N.

第三种思路：

这种和第二种思路一样，只不过这第三种避免了破坏原数组的元素位置，它利用两个变量Max和Min来存储当前的最大值和最小值，同一组两个数比较之后，不再调整顺序，而是将其中较小的数与当前Min作比较，如果该数小于当前Min则更新Min，同理将其中较大的数与当前Max做比较，如果该数大于当前Max，则更新Max，整个算法过程的比较次数也是1.5*N.如图所示：

第四种思路：

采用分治思想，分别求出前后Ｎ／２个数的Min和Max，然后取较小的Min，较大的Max即可(只需较大的数和较大的数比较，较小的数和较小的数比较，两次就可以了)。对于整个算法比较次数,我们可以用logaN{\log}_aN性质和等比数列求和公式推导下面公式：

f(2)=1f(2) = 1

f(N)=2∗f(N/2)+2=2∗(2∗f(N/22)+2)+2=22∗f(N/22)+22+2⋯=2(log2N)−1∗f(N/2(log2N)−1)+2(log2N)−1+⋯+22+2=N2∗f(2)+2(log2N)−1+⋯+22+2=N2∗f(2)+2∗(1−2(log2N)−1)1−2=N2+2∗(1−N2)1−2=1.5N−2\begin{array}{l}f(N) = 2*f(N/2) + 2\\ = 2*(2*f(N/{2^2}) + 2) + 2\\ = {2^2}*f(N/{2^2}) + {2^2} + 2\\ \cdots \\ = {2^{(lo{g_2}N) - 1}}*f(N/{2^{(lo{g_2}N) - 1}}) + {2^{(lo{g_2}N) - 1}} + \cdots + {2^2} + 2\\ = \frac{N}{2}*f(2) + {2^{(lo{g_2}N) - 1}} + \cdots + {2^2} + 2\\ = \frac{N}{2}*f(2) + \frac{{2*(1 - {2^{(lo{g_2}N) - 1}})}}{{1 - 2}}\\ = \frac{N}{2} + \frac{{2*(1 - \frac{N}{2})}}{{1 - 2}}\\ = 1.5N - 2\end{array}

代码实现：

#include <iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
void search(int *arr,int b,int e,int &max,int &min)
{
   //前半部分的最大值和最小值存储
   int maxL,minL;
   //后半部分的最大值和最小值存储
   int maxR,minR;
   //边界
   if(e-b<=1)
   {
      if(arr>arr[e])
      {
         max=arr[b];
         min=arr[e];
      }
      else
      {
         max=arr[e];
         min=arr[b];
      }
      return ;
   }
   //b+(e-b)/2相当于(b+e)/2,不过b+(e-b)/2可以防止溢出
   search(arr,b,b+(e-b)/2,maxL,minL);//前半部分
   //cout << "front:   "<<"b:   "<<b<<"   b+(e-b)/2:   "<<b+(e-b)/2<<"   MAX IS: "<<maxL<<"  MIN IS:  "<<minL<< endl;
   search(arr,b+(e-b)/2+1,e,maxR,minR);//后半部分
  // cout << "rear:     "<<"b+(e-b)/2+1:   "<<b+(e-b)/2+1<<"  e:   "<<e<<"   MAX IS: "<<maxR<<"  MIN IS:  "<<minR<< endl;
   //比较前半部分和后半部分的最大值和最小值
   if(maxL>maxR)
   {
      max=maxL;
   }
   else
   {
      max=maxR;
   }
   if(minL<minR)
   {
      min=minL;
   }
   else
   {
      min=minR;
   }
   //cout <<"result:   "<< "MAX IS: "<<max<<"  MIN IS:  "<<min<< endl;
}
int main()
{
    int arr[6]={6,5,8,3,9,7};
    int max,min;
    search(arr,0,5,max,min);
    cout << "MAX IS: "<<max<<"  MIN IS:  "<<min<< endl;
    return 0;
}

[b]就拿上面的数组arr数字分析，上面的算法相当于树的后序遍历，每次分割一次，树增加的结点就是2的n次方(其中n 为分割前树的宽度)，如图：

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