背包之01背包、完全背包、多重背包详解

首先说下动态规划，动态规划这东西就和递归一样，只能找局部关系，若想全部列出来，是很难的，比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2，再把最后一层移动到3，最后再把其余的从2移动到3，这是一个直观的关系，但是想列举出来是很难的，也许当层数n=3时还可以模拟下，再大一些就不可能了，所以，诸如递归，动态规划之类的，不能细想，只能找局部关系。









1.汉诺塔图片

（引至杭电课件:DP最关键的就是状态，在DP时用到的数组时，也就是存储的每个状态的最优值，也就是记忆化搜索）

要了解背包，首先得清楚动态规划：

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构；

2. 递归地定义最优解的值；

3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值；

4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值，则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包

在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态

看了dd大牛的《背包九讲》(点击下载)，迷糊中带着一丝清醒，这里我也总结下01背包，完全背包，多重背包这三者的使用和区别，部分会引用dd大牛的《背包九讲》，如果有错，欢迎指出。

(www.wutianqi.com留言即可)

首先我们把三种情况放在一起来看：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

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先来分析01背包：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）

首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序！

这就是关键！



分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！

这里给大家一组测试数据：

测试数据：

10,3

3,4

4,5

5,6









这个图表画得很好，借此来分析：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。（请在草稿纸上自己画一画）

2完全背包

for (int i=0; i<n; i++)
    for (int j=size[i]; j<=w; j++)
        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

3.多重背包转化为01，完全

a，二进制转化

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int dp[100010];//注意数组大小
int value[2000],num[2000];
int n,m;
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
		return a;
	else
		return b;
}
void ZeroOnePack(int value,int weight)
{
	int i;
	for(i=m;i>=value;i--)
		dp[i]=max(dp[i],dp[i-value]+weight);
}
void CompletePack(int value,int weight)
{
	int i;
		for(i=value;i<=m;i++)
		dp[i]=max(dp[i],dp[i-value]+weight);
}
void MultiplePack(int value,int weight,int num)
{
	if(value*num>=m) //转化为完全背包
		CompletePack(value,weight);
	else  //二进制优化
	{
		int k=1;
		while(k<=num)
		{
			ZeroOnePack(k*value,k*weight);
			num-=k;
			k<<=1;
		}
		ZeroOnePack(num*value,num*value);
	}
}
int main()
{
	while(scanf("%d %d",&n,&m))
	{
		if(n+m==0)
			break;
		int i;
		for(i=1;i<=m;i++) 
			dp[i]=-10000000;    //复制为最小
        dp[0]=0;	
		for(i=0;i<n;i++)
		  scanf("%d",&value[i]);		
		for(i=0;i<n;i++)
		  scanf("%d",&num[i]);
		for(i=0;i<n;i++)
			MultiplePack(value[i],value[i],num[i]); //多重背包
		int ans=0;
		for(i=1;i<=m;i++) //统计
		{
			if(dp[i]>0)
               ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);

	}
	return 0;
}

b

or(int i=1;i<=n;i++)
         {
                 scanf("%d%d",&s[i][0],&s[i][1]);
                 int k=1;
                 if(s[i][0]==0||s[i][1]==0)
                 continue;
                 while(s[i][0]-k>0)
                 {
                        t[cnt++]=k*s[i][1];
                        s[i][0]-=k;
                        k*=2;
                 }
                 t[cnt++]=s[i][0]*s[i][1];
         }
         memset(dp,0,sizeof(dp));

c转化为完全背包

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[110000],num[100100],s[2000][2];
int main()
{
    int cash,n;
    while(scanf("%d%d",&cash,&n)>0)
    {
         int cnt=0;
         for(int i=1;i<=n;i++)
         {
                 scanf("%d%d",&s[i][0],&s[i][1]);
         }
         memset(dp,0,sizeof(dp));
         for(int i=1;i<=n;i++)
         {
                 memset(num,0,sizeof(num));
                 for(int j=s[i][1];j<=cash;j++)
                 if(dp[j]<dp[j-s[i][1]]+s[i][1]&&num[j-s[i][1]]<s[i][0])
                 {
                        dp[j]=dp[j-s[i][1]]+s[i][1];
                        num[j]=num[j-s[i][1]]+1;
                 }
         }
         printf("%d\n",dp[cash]);
    }
    return 0;
}

链接/article/2401560.html