floyd-warshall算法

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　
b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点



相应计算方法如下：







最后A3即为所求结果

3.算法代码实现

typedef struct
{
char vertex[VertexNum];                                //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表
int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;

void Floyd(MGraph g)
{
　　int A[MAXV][MAXV];
　　int path[MAXV][MAXV];
　　int i,j,k,n=g.n;
　　for(i=0;i<n;i++)
　　for(j=0;j<n;j++)
　　{ 　　
A[i][j]=g.edges[i][j];
　　 path[i][j]=-1;
　 }
　　for(k=0;k<n;k++)
　　{
　　for(i=0;i<n;i++)
　　for(j=0;j<n;j++)
　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
　　{
　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
　　path[i][j]=k;
　 }
　}
}

floyd算法

弗洛伊德（Floyd）算法过程：

１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。

２、依次扫描每一个点，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[][]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：

最短距离有三种情况：

１、两点的直达距离最短。（如下图<v,x>）

２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图<v,u>）

３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图<v,w>）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。

对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。

对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使<v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使<u,w>=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。



floyd的核心代码:

for (k=0;k<g.vexnum;k++)

{

for (i=0;i<g.vexnum;i++)

{

for (j=0;j<g.vexnum;j++)

{

if (distance[i][j]>distance[i][k]+distance[k][j])

{

distance[i][j]=distance[i][k]+distance[k][j];

}

}

}

}

结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解：

第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。

第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。

第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

//多源最短路径,floyd_warshall算法,复杂度O(n^3)

//求出所有点对之间的最短路经,传入图的大小和邻接阵

//返回各点间最短距离min[]和路径pre[],pre[i][j]记录i到j最短路径上j的父结点

//可更改路权类型,路权必须非负!

#define MAXN 200

#define inf 1000000000

typedef int elem_t;

void floyd_warshall(int n,elem_t mat[][MAXN],elem_t min[][MAXN],int pre[][MAXN]){

int i,j,k;

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++)

min[i][j]=mat[i][j],pre[i][j]=(i==j)?-1:i;

for (k=0;k<n;k++)

for (i=0;i<n;i++)

for (j=0;j<n;j++)

if (min[i][k]+min[k][j]<min[i][j])

min[i][j]=min[i][k]+min[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];

}