UVAlive 3662 Another Minimum Spanning Tree 莫队算法,曼哈顿最小生成树
2015-08-21 11:11
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题目:
现成的东西,就不自己写了。
转载请注明出处,谢谢http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents
by---cxlove
二维平面中有一些点,两点之间的距离为曼哈顿距离,求最小生成树。
朴素的n个点,只能做到O(n^3)或者O(n^2 lgn)。
但是针对这种曼哈顿距离的MST。
其中有个性质是:对于某个点,以他为中心的区域分为8个象限,对于每一个象限,只会取距离最近的一个点连边。
这样的话,由于边是双向的,所以对于每个点只需要考虑4个方向,边的数目最多为O(4*n),再使用kruskal就可以做到O(nlgn)了。
至于证明:
这个结论可以证明如下:假设我们以点A为原点建系,考虑在y轴向右45度区域内的任意两点B(x1,y1)和C(x2,y2),不妨设|AB|≤|AC|(这里的距离为曼哈顿距离),如下图:
![](http://img.my.csdn.net/uploads/201302/08/1360309639_9027.jpg)
|AB|=x1+y1,|AC|=x2+y2,|BC|=|x1-x2|+|y1-y2|。而由于B和C都在y轴向右45度的区域内,有y-x>0且x>0。下面我们分情况讨论:
1. x1>x2且y1>y2。这与|AB|≤|AC|矛盾;
2. x1≤x2且y1>y2。此时|BC|=x2-x1+y1-y2,|AC|-|BC|=x2+y2-x2+x1-y1+y2=x1-y1+2*y2。由前面各种关系可得y1>y2>x2>x1。假设|AC|<|BC|即y1>2*y2+x1,那么|AB|=x1+y1>2*x1+2*y2,|AC|=x2+y2<2*y2<|AB|与前提矛盾,故|AC|≥|BC|;
3. x1>x2且y1≤y2。与2同理;
4. x1≤x2且y1≤y2。此时显然有|AB|+|BC|=|AC|,即有|AC|>|BC|。
综上有|AC|≥|BC|,也即在这个区域内只需选择距离A最近的点向A连边。
转自:http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908
那么如果有了结论之后,怎么样筛选出每个区域最近的点
首先是8个方向,由于边的双向性,我们只需要针对一个点考虑4个方向即可。这4个方向(比如说Y轴右侧),那么都可以通过坐标变换到某一个区域,(比如说y>x)。关于y=x或者y=0对称就可以实现。
对于y>x这个区域,如果对于点A(x0,y0) 在这个区域中有个点B(x1,y1)。
那么x1>x0&&y1-x1>y0-x0。而dist(A,B)=x1-x0+y1-y0=x1+y1-(x0+y0),那么对于点A,则是找在这个区域内x1+y1最小的点。
那么什么样的点满足在这个区域内呢,(X1>X0&&Y1-X1>Y0-X0)便 是条件
我们将坐标按X排序,将Y-X离散化,用BIT来维护,查询对于某一个X0,查询比(Y0-X0)大的中X1+Y1最小的点。
将这条边加上,重复4个区域之后,就是kruskal了。
我的方法:原理用的是如上的。
实现的时候,也是计算y>x的区域的。但是树状数组以x-y离散化的结果排序的。
因为y'-x' > y-x
所以x'-y' < x-y
其实树状数组不仅可以实现前缀和,也可以实现后缀和,没必要反过来的。但是我就是习惯了
现成的东西,就不自己写了。
转载请注明出处,谢谢http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents
by---cxlove
二维平面中有一些点,两点之间的距离为曼哈顿距离,求最小生成树。
朴素的n个点,只能做到O(n^3)或者O(n^2 lgn)。
但是针对这种曼哈顿距离的MST。
其中有个性质是:对于某个点,以他为中心的区域分为8个象限,对于每一个象限,只会取距离最近的一个点连边。
这样的话,由于边是双向的,所以对于每个点只需要考虑4个方向,边的数目最多为O(4*n),再使用kruskal就可以做到O(nlgn)了。
至于证明:
这个结论可以证明如下:假设我们以点A为原点建系,考虑在y轴向右45度区域内的任意两点B(x1,y1)和C(x2,y2),不妨设|AB|≤|AC|(这里的距离为曼哈顿距离),如下图:
![](http://img.my.csdn.net/uploads/201302/08/1360309639_9027.jpg)
|AB|=x1+y1,|AC|=x2+y2,|BC|=|x1-x2|+|y1-y2|。而由于B和C都在y轴向右45度的区域内,有y-x>0且x>0。下面我们分情况讨论:
1. x1>x2且y1>y2。这与|AB|≤|AC|矛盾;
2. x1≤x2且y1>y2。此时|BC|=x2-x1+y1-y2,|AC|-|BC|=x2+y2-x2+x1-y1+y2=x1-y1+2*y2。由前面各种关系可得y1>y2>x2>x1。假设|AC|<|BC|即y1>2*y2+x1,那么|AB|=x1+y1>2*x1+2*y2,|AC|=x2+y2<2*y2<|AB|与前提矛盾,故|AC|≥|BC|;
3. x1>x2且y1≤y2。与2同理;
4. x1≤x2且y1≤y2。此时显然有|AB|+|BC|=|AC|,即有|AC|>|BC|。
综上有|AC|≥|BC|,也即在这个区域内只需选择距离A最近的点向A连边。
转自:http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908
那么如果有了结论之后,怎么样筛选出每个区域最近的点
首先是8个方向,由于边的双向性,我们只需要针对一个点考虑4个方向即可。这4个方向(比如说Y轴右侧),那么都可以通过坐标变换到某一个区域,(比如说y>x)。关于y=x或者y=0对称就可以实现。
对于y>x这个区域,如果对于点A(x0,y0) 在这个区域中有个点B(x1,y1)。
那么x1>x0&&y1-x1>y0-x0。而dist(A,B)=x1-x0+y1-y0=x1+y1-(x0+y0),那么对于点A,则是找在这个区域内x1+y1最小的点。
那么什么样的点满足在这个区域内呢,(X1>X0&&Y1-X1>Y0-X0)便 是条件
我们将坐标按X排序,将Y-X离散化,用BIT来维护,查询对于某一个X0,查询比(Y0-X0)大的中X1+Y1最小的点。
将这条边加上,重复4个区域之后,就是kruskal了。
我的方法:原理用的是如上的。
实现的时候,也是计算y>x的区域的。但是树状数组以x-y离散化的结果排序的。
因为y'-x' > y-x
所以x'-y' < x-y
其实树状数组不仅可以实现前缀和,也可以实现后缀和,没必要反过来的。但是我就是习惯了
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<math.h> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; #define maxn 100007 #define inf 100000000 #define maxm 200007 #define ll long long int pos[maxm],tree[maxm]; void add(int p,int val,int id){ while(p < maxm){ if(val < tree[p]){ tree[p] = val; pos[p] = id; } p += p&(-p); } } int query(int p){ int id=-1,val=inf; while(p > 0){ if(tree[p] < val){ val = tree[p]; id = pos[p]; } p -= p&(-p); } return id; } struct Node{ int x,y,id,xsy; }; int comp(Node a,Node b){ if(a.x == b.x) return a.y > b.y; return a.x > b.x; } int compxsy(Node a,Node b){ return a.xsy < b.xsy; } struct Edge{ int u,v,w; Edge(int _u=0,int _v=0,int _w=0){ u =_u,v=_v,w=_w; } }; vector<Edge> edge; Node point[maxn]; Node P[maxn]; int dist(Node a,Node b){ return abs(a.x-b.x)+abs(a.y-b.y); } void ManhaTon(int n){ for(int i = 0;i < n; i++) point[i].xsy = point[i].x-point[i].y; sort(point,point+n,compxsy); int cnt = 1,f=-inf; for(int i = 0;i < n; i++){ if(point[i].xsy != f){ cnt++; f = point[i].xsy; } point[i].xsy = cnt; } sort(point,point+n,comp); for(int i = 0;i < maxm; i++) tree[i] = inf,pos[i]=-1; for(int i = 0;i < n; i++){ int u = point[i].id; int v = query(point[i].xsy); if(v != -1) edge.push_back(Edge(u,v,dist(P[u],P[v]))); add(point[i].xsy,point[i].x+point[i].y,u); } } void buildEdge(int n){ edge.clear(); for(int j = 0;j < 4; j++){ for(int i = 0;i < n; i++) point[i] = P[i]; for(int i = 0;i < n; i++){ if(j == 1) swap(point[i].x,point[i].y); else if(j == 2) point[i].y = -point[i].y; else if(j==3){ swap(point[i].x,point[i].y); point[i].y = -point[i].y; } } ManhaTon(n); } } int pre[maxn]; int find(int u){ if(u == pre[u]) return u; return pre[u] = find(pre[u]); } int compEdge(Edge a,Edge b){ return a.w < b.w; } ll MST(int n){ for(int i = 0;i < n; i++) pre[i] = i; sort(edge.begin(),edge.end(),compEdge); ll d = 0; for(int i = 0;i < edge.size() ;i++){ if(n == 1) return d; int f1 = find(edge[i].u); int f2 = find(edge[i].v); if(f1 == f2) continue; pre[f1] = f2; n--; d+=edge[i].w; } return d; } int main(){ int n,tt=1; while(scanf("%d",&n),n){ for(int i = 0;i < n; i++){ scanf("%d%d",&P[i].x,&P[i].y); P[i].id = i; } buildEdge(n); printf("Case %d: Total Weight = %lld\n",tt++,MST(n)); } return 0; }
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