【基础数论】十分钟学会计算欧拉函数

欧拉函数

欢迎各位读者指出不足,谢谢~

首先我们要知道欧拉函数是个什么东东？

废话不多说~欧拉函数就是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

欧拉函数的通式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

对于上述的通式一定要牢记在心，因为这是计算欧拉函数最重要的一步。 切记切记~~~~

好，最简单的，我们根据通式即可得 最简单的代码：

int euler(int n)  
{  
    int ans=n;  
    for(int i=2;i*i<=n;i++){  
        if(n%i==0){  
            ans-=ans/i;  
            while(n%i==0){  
                n/=i;  
            }  
        }  
    }  
    if(n>1)ans-=ans/n;  
    return ans;  
}

晦涩难懂一：代码中的 ans-=ans/i; 这一步就是对应欧拉函数的通式~还是应该比较容易看懂的吧？

晦涩难懂二：while(n%i==0) n/=i; 这一个语句是为了保证完全消除我们刚才得到的那个i因子。确保我们下一个得到的i是n的素因子。

晦涩难懂三：if(n>1)ans-=ans/n; 这个语句是为了保证我们已经除完了n的所有的素因子，有可能还会出现一个我们未除的因子，如果结尾出现n>1 ,说明我们还剩一个素因子木有除。

看懂上述代码的就可以去练练手了~ 推荐题目：HDOJ 1787 题解：点击打开链接

但是我们一般做的题当然不会这么简单啊~~来点稍微难一点点的。。。

如果我们要求的数比较多，如果一个一个求那么很容易就超时，所以我们自然而然就想到——打表。

如果我们依照上述思想，来个最朴素的打表。

void euler()
{
    p[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        int n=i;
        p[i]=i;
        for(int j=2;j*j<=n;j++){
            if(n%j==0){
                p[i]=p[i]/j*(j-1);
                while(n%j==0) n=n/j;
            }
        }
        if(n>1) p[i]=p[i]/n*(n-1);
    }
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
        p[i]+=p[i-1];
}

这种打表方法并不是很理想。。。。

下面推荐 两种较快的打表方法：

ps：这种好像稍微快那么一点点~

void euler()  
{  
    E[1]=1;  
    for(int i=2;i<maxn;i++)  
        E[i]=i;  
    for(int i=2;i<maxn;i++){  
        if(E[i]==i)  
        for(int j=i;j<maxn;j+=i){  
            E[j]=E[j]/i*(i-1);  
        }  
    }  
}

第二种：

void euler()  
{  
    for(int i=2;i<maxn;i++){  
        if(!E[i])  
        for(int j=i;j<maxn;j+=i){  
            if(!E[j])E[j]=j;  
            E[j]=E[j]/i*(i-1);  
        }  
    }  
}

上述打表方法的思想和最初的是差不多的。但是它进行了优化，所以比较快。

我们逐步分析一下：

首先，在这里我们枚举的是素因子。因为素因子比较少，如果枚举素因子的话肯定会大大优化复杂度？

那么，我们如何保证我们得到的就一定是个素因子呢？这就是我们if语句的作用，例如在第一种方法中，我们在第二个for 循环中就是把所有数，除以素因子。这样得到的复杂度一定比枚举每个数，然后找素因子（最开始那个打表法）这种打表要优化的多。

推荐题目：HDOJ 2824 题解：点击打开链接

在平时，我们做题，一般不会直接或者只是考察一个数的欧拉函数值。而是一些变形，或者是欧拉函数的一些性质。

在这我总结了几个欧拉函数常用的性质，希望读者多多补充。

欧拉函数性质（持续更新）：

①N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2*M*eular(N)。 推荐题目：HDOJ 3501 题解：点击打开链接

②若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

③若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);