《编程之美》学而思-精确表达浮点数

《编程之美》学而思-精确表达浮点数

flyfish 2015-10-13

《编程之美》精确表达浮点数

有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。

有限小数：0.9 = 9/10 无限循环小数：0.333（3）= 1/3（括号中的数字表示是循环节）

1）对于有限小数：0.a1a2…an=(a1a2…an)/10n0.a_1a_2…a_n=(a_1a_2…a_n)/10^n

2）对于无限循环小数

X=0.a1a2…an（b1b2…bm）X=0.a_1a_2…a_n（b_1b_2…b_m）

10n∗X=a1a2…an.（b1b2…bm）10^n*X=a_1a_2…a_n.（b_1b_2…b_m）

10n∗X=a1a2…an+0.（b1b2…bm）10^n*X=a_1a_2…a_n+0.（b_1b_2…b_m）

X=(a1a2…an+0.（b1b2…bm）)/10nX=(a_1a_2…a_n+0.（b_1b_2…b_m）)/10^n

对于整数部分a1a2…ana_1a_2…a_n，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理：

那么

10m∗Y=b1b2…bm.（b1b2…bm）10^m*Y=b_1b_2…b_m.（b_1b_2…b_m） 10m∗Y=b1b2…bm+0.（b1b2…bm）10^m*Y=b_1b_2…b_m+0.（b_1b_2…b_m）

10m∗Y−Y=b1b2…bm10^m*Y-Y=b_1b_2…b_m

将Y代入前面的X的等式可得：

=(a1a2…an+b1b2…bm/(10m−1))/10n=(a_1a_2…a_n+b_1b_2…b_m/(10^m-1))/10^n

=((a1a2…an)∗(10m−1)+(b1b2…bm))/((10m−1)∗10n)=((a_1a_2…a_n)*(10^m-1)+(b_1b_2…b_m))/((10^m-1)*10^n)

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3*（10^2-1）+33）/（（10^2-1）*10）

=（3*99+33）/990

=1/3 对于小数0.285714（285714），我们也可以算出：

0.285714（285714）

=（285714*（10^6-1）+285714）/（（10^6-1）*10^6）

=（285714*999999+285714）/999999000000

=285714/999999

=2/7

Boost库中使用rational表达分数

#include <boost/rational.hpp>

boost::rational<int> a( 4, 3 ); // 4/3
boost::rational<int> b( 1, 2 ); // 1/2

boost::rational<int> c = a + b; // 4/3 + 1/2 = 11/6
a.numberator();//分子
a.denominator();//分母
double d = boost::rational_cast<double>( a );

rational类存储整型的分子和分母，并且它们不可约。

若初始化时分母为零，则抛出一个异常；

若分数为负，则规定分子为负而分母为正；

若分子为0，则分母为1（即整数的分母均为1）。

计算机无法精确表示1/3，有理数类boost::rational可以，目的就是用来避免浮点数的精度损失问题