菜鸟系列——欧几里德与扩展欧几里

菜鸟就要老老实实重新学起：

欧几里德算法：

就是辗转相除法，小学的东西，gcd(a,b)=gcd(b,a%b),

实现简单，用途广泛，，

模版：

long long gcd(long long x,long long y)
{   return y?gcd(y,x%y):x;  }

或者用迭代的写法：

long long gcd(long long x,long long y)
{
if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y;
long long t;
while(y)
t=y,y=x%y,x=t;
return x;
}

由gcd也就可以求出lcm：

long long lcm(long long x,long long y)
{   return x/gcd(x,y)*y;    }

扩展欧几里德算法：

主要说这个，求解a*x+b*y+c=0的方程解，

先求a*x+b*y=gcd(a,b),就是利用欧几里德算法gcd(a,b)=gcd(b,a%b).

所以a*x1+b*y1=gcd(a,b), b*x0+a%b*y0=gcd(b,a%b).有x1=y0.y1=x0-(a/b)*y0.

由此可求出解x,y。

由x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))求出原方程的一组解。

通解只要取x = x1+b/gcd(a,b)*k; y = y1-a/gcd(a,b)*k;就行了。

模版：

long long exgcd(long long a, long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b == 0)
{ x = 1; y = 0; return a; }
long long g = exgcd(b, a % b ,x ,y);
//x1=y2,  y1=x2-a/b*y2
long long t = x - a / b * y;
x = y;
y = t;
return g;  //return gcd
}
long long solve(long long  a,long long b,long long c)
{
long long x,y,x0,y0,x1,y1,t = exgcd(a,b,x0,y0);
if(c%t!=0)return 0;// NO solution;
//    x = x0+b/t; y = y0-a/t; //通解
x1 = (x*c/t);  y1 = (y*c/t);//求原方程的解
//    x1 = (x0*c/t)%b;   x1 = (x1%(b/t)+b/t)%(b/t);//取x的最小整数解;
printf("%d %d\n",x1,y1);
return 0;
}

eg:

POJ1061 青蛙约会

http://poj.org/problem?id=1061

题意：

给出一个环形路，两只青蛙的初始位置及跳一次的距离，求同向行动时相见的时间。

思路：

可写出方程式：(x+m*t)-(y+n*t)=k*l.

变换为：(n-m)*t+k*l=(x-y);

所以直接扩展欧几里德求出方程解即可。

code:

long long n,m,l;
long long exgcd(long long a, long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b == 0)
{ x = 1; y = 0; return a; }
long long g = exgcd(b, a % b ,x ,y);
long long t = x - a / b * y;
x = y;
y = t;
return g;
}
long long solve(long long  a,long long b,long long c)
{
long long x,y,x0,y0,x1,y1,k,t = exgcd(a,b,x0,y0);
if(c%t!=0)
{
printf("Impossible\n");
return 0;// NO solution;
}
x1 = (x0*c/t)%b;   x1 = (x1%(b/t)+b/t)%(b/t);
printf("%lld\n",x1);
return 1;
}
int main()
{
long long i,j,k,kk,t,x,y,z;
while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
solve(n-m,l,x-y);
return 0;
}