Vijos 1164 曹冲养猪（中国剩余定理）

P1164曹冲养猪
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描述

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有16头母猪，如果建了3个猪圈，剩下1头猪就没有地方安家了。如果建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，然后如果建造了7个猪圈，还有2头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

格式

输入格式

第一行包含一个整数n (n <= 10) – 建立猪圈的次数，解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。你可以假定ai,aj互质.

输出格式

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

样例1

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3
3 1
5 1
7 2

样例输出1[复制]

16

题目大意：

找出最小的x使得x%m[0]=r[0],x%m[1]=r[1]....

解题思路：

中国剩余定理（又称孙子定理）是用来求解如下方程组的：

x % m[0] = r[0]

x % m[1] = r[1]

x % m[2] = r[2]

x % m[3] = r[3]

......

（求解的条件是m数组两两互质）

然后我们设M=m[0]*m[1]*m[2]*......*m[n-1]，因为m数组两两互质，所以M/m[i]与m[i]的最大公约数为1，即gcd(M/m[i],m[i])=1。

所以我们要先找到一个数v使得：

(M/m[i]) * v % m[i] = 1

(M/m[i]) * v = 1 (mod m[i])……………………①

由于题目规定，模m[i]的结果不是1，而是r[i]

所以等式两边要同时乘上r[i]，得：

(M/m[i]) * v * r[i]= r[i] (mod m[i])

那么这个(M/m[i]) * v * r[i]就是最终答案x的一部分。

求(M/m[i]) * v * r[i]，我们只需要求v即可。那么我们如何求得v呢？

观察①式，发现我们只需要求满足

(M/m[i]) * v + m[i] * t = 1……………………②

的v值即可（其中t为任意整数）。

观察②式，发现其实②式就是(M/m[i]) * v + m[i] * t = gcd(M/m[i],m[i])，所以运用拓展欧几里得即可求出v。

参考代码：

#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MOD=1e9+7;
const int MAXN=50;
typedef long long LL;

int n,m[MAXN],r[MAXN];

LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL r=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=y;
    y=x-a/b*y;
    x=t;
    return r;
}

LL china(int* m,int* r,int n)
{
    LL M=1,re=0,x,y;
    for(int i=0;i<n;i++)
        M*=m[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        LL w=M/m[i];
        exgcd(w,m[i],x,y);
        re=(re+x*w*r[i])%M;
    }
    return (re+M)%M;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        scanf("%d%d",&m[i],&r[i]);
    printf("%lld\n",china(m,r,n));
    return 0;
}