动态规划

本文借鉴：http://blog.csdn.net/m13666368773/article/details/7531600

今天跟大家分享下算法思想中比较难的一种"动态规划"，动态规划给人像是作战时常用的“迂回战术”，或者说是

游击战，在运动中寻找突破口。



一： 思想

首先要了解”动态规划“，必须先知道什么叫做”多阶段决策“，百科里面对这个问题解释的很全，我就load一段出来，

大家得要好好品味，好好分析。





上面图中最后一句话就定义了动态规划是要干什么的问题。



二：使用规则

现在我们知道动态规划要解决啥问题了，那么什么情况下我们该使用动态规划呢？

① 最优化原理（最优子结构性质）：

如果一个问题的最优策略它的子问题的策略也是最优的，则称该问题具有“最优子结构性质”。

② 无后效性：

当一个问题被划分为多个决策阶段，那么前一个阶段的策略不会受到后一个阶段所做出策略的影响。

③ 子问题的重叠性：

这个性质揭露了动态规划的本质，解决冗余问题，重复的子问题我们可以记录下来供后阶段决策时

直接使用，从而降低算法复杂度。



三：求解步骤

① 描述最优解模型。

② 递归的定义最优解，也就是构造动态规划方程。

③ 自底向上的计算最优解。

④ 最后根据计算的最优值得出问题的最佳策略。



四：与其他算法的差异

① 递归： 递归采用的是“由上而下”的解题策略并带有可能的”子问题“重复调用，时间复杂度自然高。

而”动态规划“采用”自下而上“并带有临时存储器保存上一策略的最优解，空间换时间。

② 分治： 同样两者都是将问题划分为很多的子问题，不同的是”动态规划“中各子问题是相互联系的。

③ 贪心： 要注意的是贪心算法每走一步都是不可撤回的，而动态规划是在一个问题的多种策略中寻找

最优策略，所以动态规划中前一种策略可能会被后一种策略推翻。



五：举例

动态规划中，最经典最著名的例子莫过于”背包问题“，现有：

苹果： 1kg 12￥

梨子： 1kg 3￥

葡萄： 1kg 10￥

板栗： 1kg 25￥

现有一个背包，只能装3kg水果，那么如何得到物品价值最大化？

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using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;



namespace BeiBao

{

public class Program

{

static void Main(string[] args)

{

Goods goods = new Goods()

{

LimitWeight = 3,

LimitNum = 4,

Weight = new double[4] { 1, 1, 1, 1 },

Value = new double[4] { 12, 3, 10, 25 }

};



BackPack(goods, 0, 0, goods.Value.Sum());



Console.WriteLine("经过最优化求解：\n");



for (int i = 0; i < goods.Selected.Length; i++)

{

if (goods.Selected[i])

{

Console.WriteLine("重量：" + goods.Weight[i] + " 价值：" + goods.Value[i]);

}

}



Console.Read();

}



static double maxValue;



static bool[] selected = new bool[4];



static void BackPack(Goods good, int i, double tw, double tv)

{

//当前追加物品的重量

var currentWeight = tw + good.Weight[i];



//当前重量小于限制重量则继续追加

if (currentWeight <= good.LimitWeight)

{

selected[i] = true;



//如果当前不是最后一个商品，则继续追加

if (i < good.LimitNum - 1)

{

BackPack(good, i + 1, tw + good.Weight[i], tv);

}

else

{

for (int k = 0; k < good.LimitNum; k++)

{

good.Selected[k] = selected[k];

}

maxValue = tv;

}

}



selected[i] = false;



//这里就体现了动态规划的根本目的，解决冗余

if (tv - good.Value[i] > maxValue)

{

if (i < good.LimitNum - 1)

{

//排除当前物品所剩余的价值总值

var exceptNotSelectedValue = tv - good.Value[i];



BackPack(good, i + 1, tw, exceptNotSelectedValue);

}

else

{

for (int k = 0; k < good.LimitNum; k++)

{

good.Selected[k] = selected[k];

}



maxValue = tv - good.Value[i];

}

}

}

}



#region 商品的实体

/// <summary>

/// 商品的实体

/// </summary>

public class Goods

{

public double[] Value = new double[4];

public double[] Weight = new double[4];

public bool[] Selected = new bool[4];

public int LimitNum { get; set; }

public double LimitWeight { get; set; }

}

#endregion

}