从向量乘法到规范正交

一、基础知识

向量的乘法分为两种，一种叫数乘，另外一种叫点乘。相应的有两种表示形式：

(Ax n) & (A · B)

(1)数乘：数乘之积为向量。当n为-1时，向量A进行180度变向，即翻转。当n为2时，向量A方向不变，长度变为原来的2倍。其他情形，自行推导。

(2)点乘：点乘之积为数量。(A·B)=||A||x ||B|| x cosθ，其中θ为A与B的夹角。

(3)正交：A·B = 0，则A 与 B正交。

(4)单位向量：A，||A||= 1

(5)正交向量组：所有向量，两两正交。

二、一次推导

A·A = ||A|| x ||A|| x cosθ，(θ=0/π)

(1)||A|| = (A·A)^(1/2)

(2)cosθ = (A·B) / ||A|| x ||B||

(3)A·A = 1，(A 为单位向量)

三、二次推导

[A,B]= 转置(A)·B，所以，我们不妨用[A,B]来表示点乘，尽管还存在一个转置。

最为直观的正交向量集合，就是正交坐标轴们。以下的推导均以笛卡尔二维坐标系为例，三维以及其他，自行推导。（不得不提醒一下，正交不是坐标轴的必要条件。）

正交化的目的，此处不再讨论。我们只探讨，怎么进行正交化。

假设，现在有两个二维向量A1，A2，其夹角不等于90度。如图3.1所示：



图3.1 二维向量的正交化
根据正交向量组的概念，将{A1,A2}正交化，就是让A1和A2正交。假设正交变换后的向量组为{B1,B2}。步骤如下：

(1)选择任意一个向量作为参照，B1 = A1。

(2)选择第二个向量进行正交化。用A2减去A2在A1方向的分量A2’，所得向量B2必然与B1正交。B2 = ？

假设A2与A1的夹角为θ，cosθ = [A2,A1] / (||A2|| x ||A1||)

||A2’||= ||A2|| x cosθ = [A2,A1] / ||A1||

A2’=A1 x (||A2’|| / ||A1||) = [A2,A1] / (||A1|| x ||A1||) x A1

B2= A2 - A2’= A2 - [A2,A1] / (||A1|| x ||A1||) x A1

A1= B1

B2= A2 - [A2,B1] / (||B1|| x ||B1||) x A1

(3)将以上式子写作上下分式的形式，你就会发现这和Schmidt正交化过程长得几乎一样。哦，对了还有一个规范化的步骤。规范化 = 单位化，怎么让每个向量的长度变成1呢？

四、三次推导

可能，你在为三维或更高维向量组的正交化而苦恼。没办法，拿起笔自己推导吧。