hihocoder 第三周

提示二：NEXT数组的使用

“那么，为了能够充分理解NEXT数组，我们再来回顾一下如何使用NEXT数组~"小Hi摆出一副老师的样子，说道。”首先我们来给出NEXT数组的数学定义~“

NEXT[0] = -1NEXT[i] = max{ 0<=k< i | str.substring(1, k) == str.substring(i - k +1 , i) } 其中str.substring(i, j)表示str从位置i到位置j的子串，如果i>j则,substring为空

”那么我们对之前例子中的模式串进行求解，可以得到这样的NEXT数组。“小Hi在纸上写了又写，画了又画。

模式串：	b a b a b b
NEXT：	0 0 1 2 3 1

”然后再来看这个NEXT数组是如何使用的！为了表明NEXT的所有使用情况，我们换一个原串。然后首先，我们第一次匹配，如果 用ori表示原串，用par表示模式串，用p表示原串的下标（从1开始），用q表示模式串的下标（从1开始）的话，会发现最多匹配到p=5, q=5就不能往下匹配了，因为此时ori[p +1]不等于par[q + 1]“小Hi为了使说明更加简洁，先下了一堆定义。

”好的！小Hi老师好棒！“小Ho在一旁煽风点火道。

原串(p=5)：	babab | abcbababababb
模式串(q=5)：	babab | b

”此时，令q = NEXT[q]，并将ori[1..p]和par[1..q]对齐，便会发现ori[1..p]和par[1..q]仍然是一一对应的。“

原串(p=5)：	babab | abcbababababb
模式串(q=3)：	bab | abb

“此时，ori[p+1]和par[q+1]相同了，于是可以继续往下匹配，但是到了p=7,q=5的时候又发现不能够接着匹配了。”

原串(p=7)：	bababab | cbababababb
模式串(q=5)：	babab | b

”此时，令q = NEXT[q]，并将ori[1..p]和par[1..q]对齐，便会发现ori[1..p]和par[1..q]仍然是一一对应的，这和之前是一样的。”

原串(p=7)：	bababab | cbababababb
模式串(q=3)：	bab | abb

“此时，ori[p+1]和par[q+1]仍然不相同，于是还得令q=NEXT[q]。”

原串(p=7)：	bababab | cbababababb
模式串(q=1)：	b | ababb

“此时，ori[p+1]和par[q+1]仍然不相同，令q=NEXT[q]。”

原串(p=7)：	bababab | cbababababb
模式串(q=0)：	| bababb

“此时，ori[p+1]和par[q+1]仍然不相同，令q=NEXT[q]。”

原串(p=7)：	bababab | cbababababb
模式串(q=-1)：	| bababb

”到了这一步，就相当于我们之前所说的模式串与原串的对齐点（即枚举的原串中的起点位置）越过了这条线（当时指C右侧的那条线）的情况，这种情况下，就应当p和q均+1，然后继续之前的操作。”小Hi擦了一把汗，说道。

“这样一说，我就大致能够理解NEXT数组是怎么用来求解模式匹配问题的了，但是它是如何求的呢？一般的方法不是要O(模式串长度的立方）的么？”小Ho问道。

“这就是我接下来要和你说的啦！”小Hi笑道：“但是让我先喝口水！”

提示三：如何求解NEXT数组

“首先我们不想如何求整个NEXT数组，而是假设我们已经知道了之前例子中模式串的NEXT[1..4]，来求NEXT[5]如何？”小Hi建议道。

“好的！这样我们就只需要平方级的算法就可以算出它的值了！”小Ho高兴道。

“有点追求好不好！”小Hi深深的吸了一口气：“你这样和之前的解法有什么不同么！”

“似乎没有。。那你说怎么算吧！我反正脑子已经成浆糊了。”小Ho郁闷道。

“我们把par.substring(1, 5)当做新的原串ori_new，然后把par.substring(1, 4)当做新的模式串par，会如何？”小Hi微微一笑。

“会。。我来试试！"小Ho接过小Hi手中的纸笔，便开始演算：“首先就直接匹配到了p=4, q=4的情况，这时候严格来说已经算匹配完成了，但是肯定不是就这么结束的，此时par_new[q +1]因为是空字符，所以肯定和ori_new[p+1]匹配不上。于是令q = NEXT[q]”

原串(p=4)：	baba | b
模式串(q=4)：	baba |

原串(p=4)：	baba | b
模式串(q=2)：	ba | b

”然后这时候ori_new[p + 1]就直接和par_new[q + 1]匹配上了，于是新的p=5，q=3，莫非……这个最后的q就是NEXT[5]！“小Ho忽然灵光一闪。

”没错，就是这样！那你想想现在如何求NEXT[6]。“小Hi继续引导小Ho。

”首先我们没有必要重新从头开始匹配，直接在原串和模式串的后面加上第6个字符就可以了。“小Ho分析道。

原串(p=5)：	babab | b
模式串(q=3)：	bab | abb

”没法继续匹配，于是令q=NEXT[q]。“

原串(p=5)：	babab | b
模式串(q=1)：	b | ababb

”还是没法继续匹配，于是令q=NEXT[q]。“

原串(p=5)：	babab | b
模式串(q=0)：	| bababb

”此时可以匹配了，新的p=6,q=1，所以NEXT[6]就是1！“小Ho高兴道：”没想到NEXT数组的本身会用一种递归的方式进行求解，真是太巧妙了！“

”那你要不要赶紧去写一下代码，KMP算法的代码可是可以写的很短很巧妙的哦！~“小Hi建议道。

”好！“

/*
 * next[]的含义： x[i-next[i]...i-1]=x[0...next[i]-1]
 * next[i]为满足x[i-z...i-1]=x[0...z-1]的最大z值（就是x的自身匹配）
 */
void kmp_pre(char x[],int m,int next[])
{
    int i,j;
    j = next[0] = -1;
    i = 0;
    while(i < m)
    {
        while(-1 != j && x[i] != x[j]) 
            j = next[j];
        next[++i] = ++j;
    }
}
int next[10010];
int KMP_Count(char x[],int m,char y[],int n)
{//x是模式串， y是主串
    int i, j;
    int ans = 0;
    kmp_pre(x, m, next);
    i = j = 0;
    while(i < n)
    {
        while(-1 != j && y[i] != x[j]) j = next[j];
        i++; j++;
        if(j >= m)
        {
            ans++;
            j = next[j];
        }
    }
    return ans;
}