关于等差等比数列乘积求和的分析

关于等差等比数列乘积求和的分析

问题描述

设数列：

anbn==a1+(n−1)db1q(n−1)\begin{eqnarray}
a_n & = & a_1+(n-1)d \\
b_n & = & b_1q^{(n-1)}
\end{eqnarray}

并设：

cn=anbnc_n=a_nb_n

求：

∑k=0nck\sum_{k=0}^n{c_k}

分析

∑k=0nck====a1b1+a2b2+⋯+anbna1b1+(a1+d)b1q+(a1+2d)b1q2+⋯+[a1+(n−1)d]b1qn−1a1b1+a1b1q+⋯+a1b1qn−1+b1d(q+2q2+⋯+(n−1)qn−1)a1b11−qn1−q+b1d(q+2q2+⋯+(n−1)qn−1)\begin{eqnarray}
\sum_{k=0}^n{c_k} & = & a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n \\
& = & a_1b_1 + (a_1+d)b_1q + (a_1+2d)b_1q^2 + \dots + [a_1+(n-1)d]b_1q^{n-1} \\
& = & a_1b_1 + a_1b_1q + \dots + a_1b_1q^{n-1} + b_1d(q+2q^2+\dots+(n-1)q^{n-1}) \\
& = & a_1b_1\frac{1-q^n}{1-q}+b_1d(q+2q^2+\dots+(n-1)q^{n-1})
\end{eqnarray}

因此关键在于求和：

S=q+2q2+3q3+⋯+(n−1)qn−1S = q + 2q^2 + 3q^3 + \dots + (n-1)q^{n-1}

若：

D=q+q2+q3+⋯+qn−1=q−qn1−qD = q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n-1} = \frac{q-q^n}{1-q}

有：

S=====qdDdqq(q−qn1−q)′q(1−nqn−1)(1−q)−(q−qn)(−1)(1−q)2q1−qn−1(n−nq+q)(1−q)2q−qn(n−nq+q)(1−q)2\begin{eqnarray}
S & = & q\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}q} \\
& = & q(\frac{q-q^n}{1-q})' \\
& = & q\frac{(1-nq^{n-1})(1-q)-(q-q^n)(-1)}{(1-q)^2}\\
& = & q\frac{1-q^{n-1}(n-nq+q)}{(1-q)^2}\\
& = & \frac{q-q^n(n-nq+q)}{(1-q)^2}
\end{eqnarray}

综上，

∑k=0nck==a1b11−qn1−q+b1dq1−qn−1(n−nq+q)(1−q)2a1b11−qn1−q+b1dq[(q−qn1−q)′q]\begin{eqnarray}
\sum_{k=0}^n{c_k}&=&a_1b_1\frac{1-q^n}{1-q}+b_1dq\frac{1-q^{n-1}(n-nq+q)}{(1-q)^2}\\
&=&a_1b_1\frac{1-q^n}{1-q}+b_1dq[(\frac{q-q^n}{1-q})'_q]
\end{eqnarray}