hdu 5381 The sum of gcd（线段树等差数列区间修改+单点查询）

题意：

给出一个数组a，叫你每次询问如下等式的值。

f(l,r)=∑ri=l∑rj=igcd(ai,ai+1....aj)f(l,r)=\sum_{i=l}^{r}\sum_{j=i}^{r}gcd(a_i,a_{i+1}....a_{j})

解析：

思考了很久终于理解了学长的思路

给你一个序列，这个序列的子序列gcd的个数不会超过logN个（N为每个数字，最大能取到的范围）

因为求gcd是递减的，每次至少除以2，所以gcd的个数只会有logN个。

然后让我们来看看题目要求的是什么。

所有子区间的gcd的和。

比如[1, 5]这个区间可以分解成如下子区间。

[1, 1] [1, 2] [1, 3] [1, 4] [1, 5]

[2, 2] [2, 3] [2, 4] [2, 5]

[3, 3] [3, 4] [3, 5]

[4, 4] [4, 5]

[5, 5]


现在我们可以开一个数组来保存[1->i, i] 子区间的gcd的值，以及满足该gcd的最大范围。

如果我们知道这个最大范围的话，以及这个范围的gcd值的话，那么就能很快的求出这个范围的值。

设最大范围为n，公共gcd为d

这个最大范围的内的子序列的和，就可以满足，一个等差数列。


比如我现在有一个区间[1, 6]

[3, 6] [4, 6] [5, 6] [6, 6]的gcd值一样，而前面[1, 6]，[2, 6]包含了这4个区间

假设前4个区间的gcd值是v，查询的范围越大，所加的值就越多。


[6, 6] +v

[5, 6] +2v

[4, 6] +3v

[3, 6] +4v

[2, 6] +4v

[1, 6] +4v


然后就可以先固定下右边界rr，利用线段树单点查询左边界ll总共累加了多少次。

mymy codecode

[code]#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
#define lson ls, L, M
#define rson rs, M+1, R
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = (int)1e4 + 5;

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

struct Query {
    int l, r, num;
    ll length() { return r - l + 1; }
    Query() {}
    Query(int l, int r, int num) : l(l), r(r), num(num) {}
} Q
, save[35], line[35];

int sn, ln;
ll a
, ans
;

struct Node {
    int l, r;
    ll sum, a1, d;
    ll length() { return r - l + 1; }
    void add(ll a2, ll d2) {
        ll n = length();
        sum += n*a2 + n*(n-1)/2 * d2;
        a1 += a2, d += d2;
    }
} node[N << 2];

inline void pushUp(int o) {
    node[o].sum = node[ls].sum + node[rs].sum;
}

inline void pushDown(int o) {
    ll a1 = node[o].a1, d = node[o].d;
    ll len = node[ls].length();
    node[ls].add(a1, d);
    node[rs].add(a1 + d * len, d);
    node[o].a1 = node[o].d = 0;
}

void build(int o, int L, int R) {
    node[o].l = L, node[o].r = R;
    node[o].sum = node[o].a1 = node[o].d = 0;
    if(L == R) return ;
    int M = (L + R) >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
}

void modify(int o, int ql, int qr, ll a1, ll d) {
    if(qr < ql) return ;
    if(ql <= node[o].l && node[o].r <= qr) {
        ll a = a1 + d * (node[o].l - ql);
        node[o].add(a, d);
        return ;
    }
    int M = (node[o].l + node[o].r) >> 1;
    pushDown(o);
    if(ql <= M) modify(ls, ql, qr, a1, d);
    if(qr > M) modify(rs, ql, qr, a1, d);
    pushUp(o);
}

ll query(int o, int pos) {
    if(node[o].l == node[o].r)
        return node[o].sum;
    int M = (node[o].l + node[o].r) >> 1;
    pushDown(o);
    if(pos <= M) return query(ls, pos);
    else return query(rs, pos);
}

bool cmp(Query a, Query b) {
    return a.r < b.r;
}

void getSegment(int last, int pos) {
    for(int i = 0; i < sn; i++)
        save[i].num = gcd(save[i].num, last);
    save[sn++] = Query(pos, pos, last);

    ln = 0;
    line[ln++] = save[0];
    for(int i = 1; i < sn; i++) {
        if(line[ln-1].num == save[i].num) {
            line[ln-1].r = save[i].r;
        }else line[ln++] = save[i];
    }

    sn = ln;
    memcpy(save, line, ln*sizeof(Query));
}

int n, m;
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);

        int ql, qr;
        scanf("%d", &m);
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            scanf("%d%d", &ql, &qr);
            Q[i] = Query(ql, qr, i);
        }

        sort(Q, Q+m, cmp);
        build(1, 1, n);
           sn = ln = 0;

        int l = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            getSegment(a[i], i);

            for(int j = 0; j < ln; j++) {
                ll a1 = line[j].num * line[j].length();
                ll d = -line[j].num;
                modify(1, line[j].l, line[j].r, a1, d);
                modify(1, 1, line[j].l-1, a1, 0);
            }

            while(l < m && Q[l].r <= i) {
                ans[Q[l].num] = query(1, Q[l].l);
                l++;
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            printf("%lld\n", ans[i]);
        }
    }
    return 0;
}