【程序员眼中的统计学（6.2）】原创实现二项分布算法以及应用

二项分布算法

作者 白宁超

2015年8月15日22:51:38

目录

统计学之离散概率分布的运用

统计学之几何分布、二项分布及泊松分布

统计学之几何分布算法

统计学之卡方分布

1 算法的基本描述，包括：定义、符号解释、具体的计算方法。

1.1 算法描述

在进行一系列相互独立实验，每次既有成功，又有失败的可能，且单次实验成功概率相等。在一系列试验中求成功的次数。这种情况下适用于本算法。

本算法中在n次伯努利试验中：试验n次得到r次成功的概率、二项分布的期望、二项分布方差的具体实现。

1.2 定义

在相互独立事件中，每道题答对概率为p，答错概率为q。在n个问题中答对r个问题的概率为：

这类问题称之为二项分布。表达式为：X~B(n,p)

1.3 符号解释

n：表示总试验次数

X：表示n次独立试验获取成功的次数
p：表示独立试验成功的概率
q：表示独立试验失败的概率

1.4 计算方法

假设成功概率为p，失败概率为q，n次伯努利试验中，试验次数为r的前提下满足：

1、第r次试验第一次成功：


2、期望：


3、方差：

2 算法的应用场景。

具体地，以书中或研究中的实际场景为例，描述算法的使用方法，包括：在该场景下算法的定义、算法中包含的符号的具体含义解释，以及具体的计算方法。

2.1 该场景下算法描述

案例描述：一次竞猜游戏中共有5个问题，每一题答对的概率为0.25，假设每一次答题都是独立事件。

2.2 该场景下算法定义

案例定义：答题者单次独立成功概率为0.25，失败概率为0.75，知道总共5道题目，即可求出相关答对次数。

2.3 该场景下算法中符号解释

n：表示总试验次数，n=5。

X：表示n次独立试验获取成功的次数,X=r(第r次)。
p：表示独立试验成功的概率，p=0.25。
q：表示独立试验失败的概率, q=1-p=0.75。

2.4 该场景下算法计算方法

案例计算：假设成功概率为p=0.25，失败概率为q=1-p，n次伯努利试验中，总共5道题目的前提下满足：

1、答对两道题的概率：


2、一题答不对的概率：


4、期望：


5、方差：

3 算法的优点和缺点的描述

算法适用的场景及不适用的场景的描述，算法适用的数据类型描述。

3.1 本算法优点

优点：在试验次数一定，求成功次数时，几何分布显示不适合的情况下，给予这类问题二项分布能更好的解决。

3.2 本算法缺点

缺点：但是面对试验次数不固定，发生事件概率的情况下，显然几何分布与二项分布都不能解决，这里也体现出泊松分布的优势。

3.3 本算法适应场景

n次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果独立，且只能具有相互对立的一种结果，目的：第N次试验中成功多少次。

3.4 本算法不适应场景

在非独立试验情况，或者独立试验情况下获取第一次成功的概率，不适用二项分布。

3.5 本算法适用的数据类型

本算法适用于double数据类型，默认保留两位小数，可以自行设定保留位数。

4 算法的输入数据、中间结果以及输出结果的图形化展示方法。

4.1 本算法输入数据

* @param n int，表示总的独立事件

* @param r int，表示发生r次

* @param p double，表示成功的概率

4.2 本算法中间结果

方法RSucess中：

* @param q double，表示失败的概率即1-p

* @param ncr double，表示成功的组合次数

4.3 本算法输出结果

* @return PX double型保留两位小数，需要n次试验r成功的概率

* @return EX double型保留两位小数，二项分布的期望

* @return VX double型保留两位小数，二项分布的方差

4.4 本算法图形化展示

5 可能导致算法计算产生异常的状态描述

可行的解决方法。该部分内容一方面描述在具体的计算过程中可能导致计算结果错误或产生误差的情况，另一方面描述在程序中，什么情况下会导致何种类型的异常。

5.1 本算法可能异常或误差

异常1：输入数据不合法，如：要求输入double数据，输入字母。

异常2：输入数据特别大，超越计算能力

误差1：计算组合结果数据保留位数，截取字符，存在一定细微误差

误差2：保留小数位数造成不精确

5.2 本算法异常或误差处理

异常1：解决，输入不合法给予提示。

异常2：解决，进行异常捕获

误差1：解决，尽量中间计算过程不保留小数位，减小误差影响

误差2：解决，进行小数点位数自定义保留封装，根据具体精度进行设置。

6 算法的代码参考。

该点只需给出对应的类和方法的基本描述，即给出类名，并列出具体调用的方法。

6.1 类和方法基本描述

类源码：见源程序：Distributes. src. DistTools. BinoDist

本算法中在n次伯努利试验中：试验n次r次成功的概率、二项分布的期望、二项分布方差的具体实现。

6.2 类和方法调用接口

见源程序：Distributes. src. DistTools. BinoDist

BinoDist.java 下包含如下方法：

RSuccess(int n,int r,double p,double q) //试验n次独立试验，r次成功的概率

Expectation(int n,double p) //二项分布的期望

Variance(int n,double p,double q) //二项分布方差

调用封装方法：

NumFormat.java 下如下方法：

DecFormat(int n,double num) //对num数值保留位数n的自行设置

factorial(int num) //对num数值求阶乘

7 二项分布类代码实现以及相关详细注释

类的注释如下：

package DistTools;

/**
*
* @(#)GeoDist.java
* @Description:描述：本算法中在n次伯努利试验中：试验n次得到r次成功的概率、二项分布的期望、二项分布方差的具体实现。
* @Definitions:定义：在相互独立事件中，每道题答对概率为p，答错概率为q。在n个问题中答对r个问题的概率为：P(X=r)=C_n_r*P^r*q^(n-r)这类问题称之为二项分布。表达式为：X~B(n,p)
* @Explanation:符号解释：n：表示总试验次数;X：表示n次独立试验获取成功的次数;p：表示独立试验成功的概率;q：表示独立试验失败的概率
* @Comments:条件：在进行一系列相互独立实验，每次既有成功，又有失败的可能，且单次实验成功概率相等。在一系列试验中求成功的次数。这种情况下适用于本算法。
* @优点:在试验次数一定，求成功次数时，几何分布显示不适合的情况下，给予这类问题二项分布能更好的解决
* @缺点:但是面对试验次数不固定，发生事件概率的情况下，显然几何分布与二项分布都不能解决，这里也体现出泊松分布的优势。
* @适用场景:n次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果独立，且只能具有相互对立的一种结果，目的：第N次试验中成功多少次。
* @不适用场景:在非独立试验情况，或者独立试验情况下获取第一次成功的概率，不适用二项分布。
* @输入/出参数:见具体方法
* @异常/误差:
*          异常1：输入数据不合法，如：要求输入double数据，输入字母。
*          异常2：输入数据特别大，超越计算能力
*          误差1：计算组合结果数据保留位数，截取字符，存在一定细微误差
*          误差2：保留小数位数造成不精确
*       解决：
*          异常1:输入不合法给予提示。
*          异常2：进行异常捕获
*          误差1：尽量中间计算过程不保留小数位，减小误差影响。
*          误差2：进行小数点位数自定义保留封装，根据具体精度进行设置。
* @Create Date：  2015年8月3日20:29:13
* @since   JDK1.6  s
* @author Bai ningchao
*/

方法一：第一次成功概率的方法注释以及实现

注释：


代码：

public static double RSucess(int n,int r,double p)
{
double PX=0;
double q=1-p;  //表示失败的概率即1-p
try
{
//根据C_n_r=n!/r!*(n-r)!求n个事件中r次的组合
double ncr=NumFormat.factorial(n)/(NumFormat.factorial(r)*NumFormat.factorial(n-r));
PX=ncr*(Math.pow(p, r))*(Math.pow(q, (double)(n-r)));//根据公式P(X=r)=C_n_r*p^{r}*q^{n-r}求解二项分布的概率
PX=NumFormat.DecFormat(4,PX);
System.out.println(">> 5道题目答对两道题的概率：" + PX);
}
catch(Exception e)
{
System.out.println(">> 错误信息描述："+e.getMessage());
}
return PX;
}

方法二：二项分布的期望方法注释以及实现

注释：


代码：

public static double Expectation(int n,double p)
{
double EX=0;
try
{
EX= Double.valueOf(n)*p;//根据二项分布的期望公式E(X)=np 求期望
EX=NumFormat.DecFormat(4,EX);
System.out.println(">> 二项分布期望：" + EX);
}
catch(Exception e)
{
System.out.println(">> 错误信息描述："+e.getMessage());
}
return EX;
}

方法三：二项分布的方差方法注释以及实现

注释：


代码：

public static double Variance(int n,double p)
{
double VX=0;
double q=1-p;  //表示失败的概率即1-p
try
{
VX= Double.valueOf(n)*p*q;//根据二项分布的方差公式Var(X)=npq 求方差
VX=NumFormat.DecFormat(4,VX);
System.out.println(">> 二项分布的方差：" + VX);
}
catch(Exception e)
{
System.out.println(">> 错误信息描述："+e.getMessage());
}
return VX;
}

主函数：

public static void main(String[] args) throws Exception {

//PX是返回5道题目答对两道题的概率       0.2637
BinoDist.RSucess(5, 2, 0.25);   //参数1:总共题目个数n，参数2:答对题目个数r，参数3:独立事件成功的概率p

//EX是二项分布的期望 1.25
BinoDist.Expectation(5, 0.25);  //实参1:独立事件成功的概率p

//VX是二项分布的方差  0.9375
BinoDist.Variance(5, 0.25);   //实参1:独立事件成功的概率p
}

注：PPT下载（提取码：4849）