辗转相除法和扩展欧几里得算法

辗转相除法（欧几里得算法）是用来求两个数的最大公约数c=gcd（a，b）

假设c是a和b（a>b）的最大公约数，那么a=mb+d，又因为a%c==0，且b%c==0，所以d%c==0，令d=k*c

那么a=mb+kc。。所以gcd（a,b）=gcd（b,kc）,同理把b当成新的a，kc当成新的b，那么gcd(b,kc)=gcd(kc,b%kc)=...=gcd(c,0)

扩展欧几里得算法用来解不定方程

ax+by=gcd(a,b)一定存在一组整数解（x，y）

若b*x1+(a%b)*y1=gcd(b,a%b)，把a%b=a-(a/b)*b替换掉可以得到a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)=gcd(b,a%b)

那么x=y1且y=x1-(a/b)*y1

然后递归的求解就好了

最小公倍数可以通过a*b/gcd（a，b）求得

#pragma warning(disable:4996)
#include <cstdio>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
if (b == 0)return a;
return gcd(b, a%b);
}

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
if (b == 0){
x = 1; y = 0;
return a;
}
int tx, ty;
int ret = exgcd(b, a%b, tx, ty);
x = ty;
y = tx - (a / b)*ty;
return ret;
}

int lcm(int a, int b){
return a*b / gcd(a, b);
}

int main(){
int a = 12, b = 9;
printf("%d\n", gcd(a, b));//3

printf("%d\n", lcm(a, b));//36

int x, y;
int ans = exgcd(a, b, x, y);

printf("%d* %d+%d* %d= %d\n", a, x, b, y, ans);//12*1-9*1=3
return 0;
}