最小生成树算法

最小生成树的两种算法是Prim算法和Kruskal算法，前者的复杂度只跟图的边数目相关：O(n^2)，后者的复杂度只跟图的顶点数目相关：O(eloge)。两个算法都依据贪心算法。

Prim算法

从图中任选一个顶点（下面的算法选取编号为1的顶点）作为起始顶点，然后从此顶点开始，依次将各个顶点加入这个子树中，每次加入的都是未访问过的、权值最小的边和所连接的那个顶点。

题目：

有n个岛屿，为了方便大家，在这n个岛屿之间修n-1架桥，要使修桥的代价最小（桥的总长度最小）。

输入格式：第一行输入岛屿的数量m，接下来的m行依次输入各个岛屿之间的距离，自己到自己的距离为0.

输出格式：输出最小的代价值

输入：

3

0 1 2

1 0 5

2 5 0

输出：3

//如下的代码没有完全按照题目给出的输出格式，大体思想而已

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int prim(vector<vector<int> >& vec, int n) {
	//visited数组标记某结点是否已经被访问
	vector<bool> visited(n + 1, false);

	//low记录某点到相邻、未被标记点的最小距离
	vector<int> low(n + 1, 0);
	int i, j, min;
	int result = 0;  //result记录最小权值和
	int pos = 1;     //选取下标为1的点作为起始点
	visited[1] = true;

	//将结点1(pos等于1)到各个结点的最小距离全部更新
	for (i = 1; i <= n; ++i) {
		if (i != pos)
			low[i] = vec[pos][i];
	}

	//对除了下标为1的其他结点都找出最小权值并记录
	for (i = 1; i < n; ++i) {
		min = INT_MAX;
		for (j = 1; j <= n; ++j) {
			if (visited[j] == false && min > low[j]) {
				min = low[j];
				pos = j;
			}
		}
		result += min;
		visited[pos] = true;

		//更新权值，low[j]记录pos到各个结点的最小权值
		for (j = 1; j <= n; j++) {
			if (visited[j] == false && low[j] > vec[pos][j])
				low[j] = vec[pos][j];
		}
	}
	return result;
}

int main() {
	int m;
	cin >> m;
	if (m > 1000 || m < 3)
		return 0;

	int n = m + 1;
	vector<vector<int> > vec(n, vector<int>(n, INT_MAX));
	int i,j;
	int value;
	for (i = 1; i < n; ++i) {
		for (j = 1; j < n; ++j) {
			cin >> value;
			vec[i][j] = value;
		}
	}
	cout << prim(vec, m) << endl;
	return 0;
}

参考：

http://www.cnblogs.com/aiyelinglong/archive/2012/03/26/2418707.html

Kruskal算法

按照修路的代价由小到大对输入的路径以及相应代价进行排序，利用并查集，依次将排序后的结点依次加入集合中。

题目：(来自这里：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1863)

省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。


Input
第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N 行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。


Output
对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。



Sample Input

3 3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
1 3
2 3 2
0 100

Sample Output

3
?

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct node {
	int value;
	int start;
	int end;
};

bool comp(node& a, node& b) {
	return a.value < b.value;
}

int set[100];
int find_set(int x) {
	int r = x;
	while (r != set[r])
		r = set[r];

	int i = x, j;
	while (set[i] != r) {
		j = set[i];
		set[i] = r;
		i = j;
	}
	return r;
}

void merge(int x, int y) {
	int fx = find_set(x);
	int fy = find_set(y);
	if (fx != fy)
		set[fx] = fy;
}

void kruskal() {
	int road, city, result = 0;
	cin >> road >> city;

	//初始化并查集，各点孤立
	for (int i = 0; i < city; ++i)
		set[i] = i;

	vector<node> num(road);
	for (int i = 0; i < road; ++i)
		cin >> num[i].start >> num[i].end >> num[i].value;

	sort(num.begin(), num.end(), comp);
	
	for (int i = 0; i < road; ++i) {
		if (find_set(num[i].start) != find_set(num[i].end)) {
			merge(num[i].start, num[i].end);
			result += num[i].value;
		}
	}

	//用于判断是否全部连通，只有根结点的父结点才是自己
	int exist = 0;  
	for (int i = 0; i < city; ++i) {
		if (set[i] == i)
			++exist;
	}
	
	if (exist > 1)
		cout << "非连通图" << endl;
	else
		cout << "最小代价为：" << result << endl;
}

int main() {
	kruskal();
}

参考：

并查集：/article/2376314.html

Kruskal：http://www.cnblogs.com/Veegin/archive/2011/04/29/2032423.html