分治法求大数乘法

摘要：

乘法主要有3种方法：1、模拟竖式计算法复杂度O（ N 2次方）；2、分治法，最优O（N 1.58次方）；3、傅里叶变换法FFT。其中竖式计算法占物理空间小，思维简单；分治法复杂度有所降低，旨在以加法代替乘法，减少乘法次数。FFT法效率最高，有待研究。

本文针对分治，给出递归分解为两段的乘法的求解，JAVA语言实现。在实际应用中，数字长度超600时分治法的优越才能够体现，但实际也可以直接调用相应的大数运算类进行实现。

a = a1 * 10^(n1/2) + a0　　　　　　—–n1为a的位数

b = b1 * 10^(n2/2) + b0　　　　　　—–n2为b的位数**

分治策略就是基于以上变换，将a，b写成前一半数字和后一半数字相加的形式，例如若a =6513678，那么a1 = 651，a0 = 3678（若不是偶数截取较小一半）

a * b = { a1 * 10^(n1/2) + a0 } * { b1 * 10^(n2/2) + b0 }

= a1*b1 * 10^[ (n1+n2)/2 ] + a1*b0 * 10^(n1/2) + a0*b1 * 10^(n2/2) + a0*b0

算法实现：

public static void main(String[] args)
{

long a = 95211154;
long b = 9039;
String s1 = "95211154";
String s2 = "9039";

long suppose = a * b;
long result = Mutiply(s1,s2);

System.out.println(suppose + "  " + result);
System.out.println(suppose == result);

}

public static long Mutiply(String a,String b)//用字符串读入2个大整数
{
long result = 0;
if(a.length() == 1 || b.length() == 1)    //递归结束的条件——长度为1
result =  Mul(a,b);
else            //如果2个字符串的长度都 >= 2
{
String a1 = a.substring(0, a.length() / 2 );        //截取前一半的字符串(较短的一半)
String a0 = a.substring(a1.length(), a.length());    //截取后一半的字符串
//System.out.println(a1);
//System.out.println(a0);
String b1 = b.substring(0, b.length() / 2);
String b0 = b.substring(b1.length(), b.length());

//分治的思想将整数写成这样： a = a1 * 10^(n1/2) + a0, b = b1 * 10^(n2/2)，相乘展开得到以下四项
//其中n1，n2为2个整数a，b的位数
result = (long) (Mutiply(a1,b1) * Math.pow(10, a0.length() + b0.length())
+ Mutiply(a1,b0) * Math.pow(10, a0.length()) + Mutiply(a0,b1) * Math.pow(10, b0.length())
+ Mutiply(a0,b0));
}

return result;
}

private static long Mul(String s1,String s2){    //计算2个字符串表示的大整数的乘积
//实际上只有递归结束，这个函数才会被调用

int[] a = new int[s1.length()];    //存放大整数s1的各位
int[] b = new int[s2.length()];    //存放大整数s2的各位

for(int i = 0;i < a.length;i++)        //将字符'i'转化为整数i放入整数数组
a[i] = (int) s1.charAt(i) - 48;
for(int i = 0;i < b.length;i++)
b[i] = (int) s2.charAt(i) - 48;

long num1 = toNum(a);
long num2 = toNum(b);
return num1 * num2;
}
private static long toNum(int[] a){ //将一个整数的位数组转化为它对应的数
long result = 0;
for(int i = 0;i < a.length;i++)
result = result * 10 + a[i];
//System.out.println(result);
return result;
}

原文章：http://www.cnblogs.com/kkgreen/archive/2011/06/12/2078668.html