组合数学+递推式 hdu2068 RPG的错排
2015-08-14 21:45
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我的思路是这样的:
枚举正确的个数i,然后从n个位置中选择i个位置,C(n,i)
那么剩下的n-i个位置,都不是答案,我们暂时成为错位排列
现在的难点就在于,如何球错位排列
设F[i]表示i个数字,错位排列的种类数
那么,先只考虑前i-1个数字错位排列,暂时在第i个位置把数字i放上,此时是不合法的因为i第i个位置不能放i,所以要考虑把i和其他数字调换位置
在前i-1个位置中,选出一个位置,把这个位置的数字与数字i调换位置,可能的情况就有(i-1)*F[i-1]
看似情况全部考虑了,其实还有一种情况没考虑。
假如前i-1个位置中,存在一个位置k,放的是数字k,然后另外i-2个数字是错位排列的,那么此时只要把这个数字k和数字i交换,也能使新生成的排列是错位排列
这种情况是不属于第一种情况的。这种情况的种类有 枚举k的位置 * i-2个数字错位排列的情况数,即(i-1)*F[i-2]
综上所述
F[i]=(i-1)*(F[i-1]+F[i-2])
其中边界F[1]=0,F[2]=1
那么这题就基本做完了~
枚举正确的个数i,然后从n个位置中选择i个位置,C(n,i)
那么剩下的n-i个位置,都不是答案,我们暂时成为错位排列
现在的难点就在于,如何球错位排列
设F[i]表示i个数字,错位排列的种类数
那么,先只考虑前i-1个数字错位排列,暂时在第i个位置把数字i放上,此时是不合法的因为i第i个位置不能放i,所以要考虑把i和其他数字调换位置
在前i-1个位置中,选出一个位置,把这个位置的数字与数字i调换位置,可能的情况就有(i-1)*F[i-1]
看似情况全部考虑了,其实还有一种情况没考虑。
假如前i-1个位置中,存在一个位置k,放的是数字k,然后另外i-2个数字是错位排列的,那么此时只要把这个数字k和数字i交换,也能使新生成的排列是错位排列
这种情况是不属于第一种情况的。这种情况的种类有 枚举k的位置 * i-2个数字错位排列的情况数,即(i-1)*F[i-2]
综上所述
F[i]=(i-1)*(F[i-1]+F[i-2])
其中边界F[1]=0,F[2]=1
那么这题就基本做完了~
#include<map> #include<set> #include<cmath> #include<stack> #include<queue> #include<cstdio> #include<string> #include<vector> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<functional> using namespace std; typedef long long LL; typedef pair<int, int> PII; const int MX = 28 + 5; LL F[MX]; LL C[MX][MX]; int main() { F[0] = 1; F[1] = 0; F[2] = 1; for(int i = 3; i < MX; i++) { F[i] = (F[i - 1] + F[i - 2]) * (i - 1); } C[0][0] = 1; for(int i = 1; i < MX; i++) { C[i][0] = C[i][i] = 1; for(int j = 1; j < i; j++) { C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]; } } int n; while(~scanf("%d", &n), n) { LL ans = 0; for(int i = (n + 1) / 2; i <= n; i++) { ans += C [i] * F[n - i]; } printf("%I64d\n", ans); } }
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